二叉树
一、树的定义
1.定义
树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
此外，树的定义还需要强调以下两点：
1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
2.结点的度
结点拥有的子树数目称为结点的度。
示例1
3.结点关系
结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
图示例1中，1为2的双亲结点，2为1的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点比如2和3。
4. 节点层次
从上至下分别是第一层、第二层以此类推
5. 树的深度
最下面一层的层次即最大层次就是树的深度或者高度
二、二叉树
1.定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
2.二叉树的特点
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
3.二叉树的性质
1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
4.满二叉树
满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2）非叶子结点的度一定是2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
5.完全二叉树
完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
图3.5展示一棵完全二叉树
特点：
1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。
可以根据公式进行推导，假设n0是度为0的结点总数（即叶子结点数），n1是度为1的结点总数，n2是度为2的结点总数，则:
①n= n0+n1+n2 （其中n为完全二叉树的结点总数）；又因为一个度为2的结点会有2个子结点，一个度为1的结点会有1个子结点，除根结点外其他结点都有父结点，
②n= 1+n1+2n2 ；由①、②两式把n2消去得：n= 2n0+n1-1，由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此得到n0=n/2 或 n0=(n+1)/2。
简便来算，就是 n0=n/2，其中n为奇数时（n1=0）向上取整；n为偶数时（n1=1）向下取整。可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。
6.二叉树的存储结构
(1).顺序存储(一维数组)
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。从左到右、从上到下如示例2
示例2
示例二存储结构如图:
示例二存储结构
可以看出，当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组。
那么当二叉树不为完全二叉树时，采用顺序存储形式如何呢？
示例3
其中浅色结点表示结点不存在。那么图3.8所示的二叉树的顺序存储结构如图所示：
示例3存储结构
其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。
因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。
(2).二叉链表
二叉链表的数据结构如下
typedef struct BiTNode{
TElemType data;//节点存储的数据
struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;
使用二叉链表可以避免上面所说的空间浪费
7.二叉树的遍历
二叉树的遍历分为:
1). 前序遍历(先序遍历):父左右、即父节点然后左孩子节点最后右孩子节点
2). 中序遍历:左中右
3). 后序遍历:左右中
4). 层序遍历:也就是从上到下、从左到右的顺序
(1).前序遍历(先序遍历)
前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
示例4
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H；
H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D；
由D返回至B，第二次到达B，故输出B；
按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；
则遍历的结果是:ABDHIEJCFG
(2).中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H；
H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D；
由D返回至B，第二次到达B，故输出B；
按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；
则遍历的结果是:HDIBJEAFCG
(3).后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H；
H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H；
由H返回至D，第二次到达D，不输出D；
继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I；
返回至D，此时第三次到达D，故输出D；
按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A
则遍历的结果是:HIDJEBFGCA
三种遍历的代码
/*二叉树的前序遍历递归算法*/
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
printf("%c", T->data); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
PreOrderTraverse(T->lchild); /*再先序遍历左子树*/
PreOrderTraverse(T->rchild); /*最后先序遍历右子树*/
}
/*二叉树的中序遍历递归算法*/
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
InOrderTraverse(T->lchild); /*中序遍历左子树*/
printf("%c", T->data); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
InOrderTraverse(T->rchild); /*最后中序遍历右子树*/
}
/*二叉树的后序遍历递归算法*/
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->lchild); /*先后序遍历左子树*/
PostOrderTraverse(T->rchild); /*再后续遍历右子树*/
printf("%c", T->data); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
}
(4).层次遍历
层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。
遍历结果:ABCDEFGHIJ
void SeqorderTraverse(BiTree root)
{
if(T==NULL)
return;
queue<BiTree> q;
BiTree front;
q.push(root);
while(!q.empty())
{
front=q.front();
q.pop();
if(front.lchild)
q.push(front.lchild)
if(front.rchild)
q.push(front.rchild)
prrintf("%c ",front.data);
}
}
三、二叉树的代码
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
struct BiTree{
int data;
struct BiTree* lchild,*rchild;
};
BiTree* buyNode(int data)
{
BiTree *newNode=(BiTree*)malloc(sizeof(BiTree));
assert(newNode);
newNode->data=data;
newNode->rchild=NULL;
newNode->lchild=NULL;
return newNode;
}
bool insertNode(BiTree *root,int data)
{
if(!root)
{
BiTree *newNode=buyNode(data);
root=newNode;
return true;
}
if(root->data>data)
return insertNode(root->rchild,data);
else if(root->data<data)
return insertNode(root->lchild,data);
else
return false;
}
BiTree *findNode(BiTree *root,int data)
{
if(!root)
return NULL;
if(root->data>data)
return findNode(root->lchild,data);
else if(root->data<data)
return findNode(root->rchild,data);
else
return root;
}
bool delNode(BiTree *root,int data)
{
if(!root)
return false;
BiTree *cur=root;
BiTree *parent=root;
BiTree *del=NULL;
while(cur)
{
if(cur->data>data)
{
parent=cur;
cur=cur->lchild;
}
else if(cur->data<data)
{
parent=cur;
cur=cur->rchild;
}
else
{
del=cur;
if(del->lchild==NULL)//1.要删除的节点没有左孩子,直接让右孩子上位继承要删除的节点
{
if(parent->lchild==cur)
parent->lchild=cur->rchild;
else if(parent->rchild==cur)
parent->rchild=cur->rchild;
else if(parent==cur)//要删除的节点没有父亲节点，说明这个是root节点
root=parent->rchild;
}
else if(del->rchild==NULL)//2.要删除的节点没有右孩子，直接让左孩子上位继承要删除的节点
{
if(parent->lchild==cur)
parent->lchild==cur->lchild;
else if(parent->rchild==cur)
parent->rchild==cur->lchild;
else if(parent==cur)
root=parent->lchild;
}
else//3.左右孩子都有
{
BiTree *sub=cur->rchild;
while(sub->lchild)//用要删除节点子树中右边最小的节点代替自己，即使是右边最小但也比左边大，同时也比右边的都小，可以代替
{
parent=sub;
sub=sub->lchild;
}
del=sub;//要删除的节点位置变成右边最小的节点位置
cur->data=sub->data;//只需要把右边最小的节点的值给赋值给要删除的那个节点位置，就不用重新链接左右孩子的关系了，然后把最小节点的位置删除即可
if(parent->lchild==sub)
parent->lchild=sub->rchild;
else
parent->rchild=sub->right;
}
free(del);
del=NULL;
return 0;
}
}
return -1;
}
