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趣味数学：蜡烛还可以再烧多久?

2022-07-02 本文已影响0人易水樵

蜡烛还可再烧多久?

易老师为学生思思和方方讲应用题。今天的题目是这样的：

两根粗细相同、材质相同但长度不同的蜡烛竖直地漂在水面上，一开始，长蜡烛露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半；将两根蜡烛同时点燃 1 小时后，长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等. 已知蜡烛漂在水面上时，露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的 $\dfrac{1}{9}$ ，那么短蜡烛还可再烧多久？长蜡烛还可再烧多久?

易老师：拿到题目首先干什么？审题。现在，你们仔细读题，把已知条件整理出来。

方方动作快，很快就整理出以下几点：

「条件A」一开始，长蜡烛露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半；
「条件B」同时点燃 1 小时后，长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等.
「条件C」露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的 $\dfrac{1}{9}$ .

老师问：非常好！动手解题吧。
思思提了一个问题：老师，我有个疑问：蜡烛一小时烧多长？题中没有给出。似乎少了一个条件。

老师反问：思思，你一顿吃几碗饭？
思思：一碗。

易老师：那你知道一碗饭有几克吗？
思思：没有称过，不知道。

易老师：事实上，一般情况下，你也不需要知道。在饭馆点餐的时候，我们是怎样说的？直接告诉服务员，我们要加三碗米饭。假如你告诉服务员，我们需要 210 克米饭，反而是非常奇怪的。

方方：所以说，我们并不需要知道一个小时燃烧的长度，只需要知道它能烧多久。对吗？
易老师：完全正确。这个问题，很自然地想到要用方程来解答。首先要做个决定：设谁为 $x$ ？
你们有什么想法？

方方：我设短蜡烛还能再烧 $x$ 小时。
易老师：请解释一下这样做的理由。

方方：一般说来，加法要比减法简单；乘法要比除法简单，整数要比分数简单。我设短蜡烛长度为 $x$ , 则长蜡烛的总长度为 $10x$ . 假如我们将长蜡烛长度为 $x$ , 则短蜡烛的总长度为 $\dfrac{1}{10}x$ , 计算不太方便.

易老师：方方这思路不错，但是比较跳跃。请说得细一些。
方方：我们设短蜡烛还可以再烧 $x$ 小时，根据「条件 B」, 长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等，也是 $x$ 小时. 再根据「条件C」，长蜡烛的总长还可以再烧 $10x$ 小时；
那么，一个小时前，短蜡烛和长蜡烛的总长分别相当于 $(x+1)$ 小时和 $(10x+1)$ 小时，于是，可以列出方程：

$\dfrac{1}{2}(x+1) = \dfrac{1}{10}(10x+1)$

易老师：不错。这个方程的依据何在？
方方：依据就是「条件A」。

思思：同时还用到了「条件 C」.

易老师：思思补充得很好。你来完整地说明一下方程的依据吧。
思思：这里的关键在于「条件C」. 原题中的描述是这样的：露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的 $\dfrac{1}{9}$ .

我们可以换成以下几种说法：

「推论C1」蜡烛的水下部分是水上部分的 $9$ 倍；
「推论C2」蜡烛的总长是水上部分的 $10$ 倍;
「推论C3」蜡烛的水上部分是蜡烛总长的 $\dfrac{1}{10}$ ;

确切地说，我们就是根据「推论C3」得出结论：一开始，长蜡烛的水上部分相当于 $\dfrac{1}{10}(10x+1)$ 小时的燃烧量，又依据条件A，就可以得到上面的等式。

易老师：讲得非常好。我们把方程解出来吧。

$10 \cdot\dfrac{1}{2}(x+1) =10 \cdot \dfrac{1}{10}(10x+1)$

$5x+5=10x+1$

$5-1=10x-5x$

$4=5x$

$\dfrac{4}{5}=x$

$x=\dfrac{4}{5}$ （小时）

$10x=8$ （小时）

结论：短蜡烛还可以再烧 $\dfrac{4}{5}$ 小时，也就 $48$ 分钟，长蜡烛还可以用 $8$ 小时.

【总结与提高】

易老师：今天大家的表现都很棒。我们简单总结一下。

第一，解答应用题，一定要仔细审题，深入分析；

第二，在一个具体的问题中，我们可以临时约定一些自定义的单位。比如，长度的单位是米和厘米。但在本题中，我们就以一个小时燃烧的长度作为一个自定义单位；

第三，遇到较复杂的问题，不要指望一步到位，有一些策略可以帮助我们分析问题。多画图，多列表格，都是不错的办法。

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