吴恩达深度学习笔记(36)-神经网络的梯度消失/梯度爆炸

梯度消失/梯度爆炸（Vanishing / Exploding gradients）

训练神经网络，尤其是深度神经所面临的一个问题就是梯度消失或梯度爆炸，也就是你训练神经网络的时候，导数或坡度有时会变得非常大，或者非常小，甚至于以指数方式变小，这加大了训练的难度。

这节课，你将会了解梯度消失或梯度爆炸的真正含义，以及如何更明智地选择随机初始化权重，从而避免这个问题。

假设你正在训练这样一个极深的神经网络，为了节约幻灯片上的空间，我画的神经网络每层只有两个隐藏单元，但它可能含有更多，但这个神经网络会有参数W^([1])，W^([2])，W^([3])等等，直到W^([l])，为了简单起见，假设我们使用激活函数g(z)=z，也就是线性激活函数，我们忽略b，假设b^([l])=0，如果那样的话，输出：

如果你想考验我的数学水平，W^([1]) x=z^([1])，因为b=0，所以我想z^([1])=W^([1]) x，a^([1])=g(z^([1]))，因为我们使用了一个线性激活函数，它等于z^([1])，所以第一项W^([1]) x=a^([1])，通过推理，你会得出W^([2]) W^([1]) x=a^([2])，因为a^([2])=g(z^([2]))，还等于g(W^([2]) a^([1]))，可以用W^([1]) x替换a^([1])，所以这一项就等于a^([2])，这个就是a^([3])(W^([3]) W^([2]) W^([1]) x)。

所有这些矩阵数据传递的协议将给出y^而不是y的值。

假设每个权重矩阵

从技术上来讲，最后一项有不同维度，可能它就是余下的权重矩阵，

因为我们假设所有矩阵都等于它，它是1.5倍的单位矩阵，最后的计算结果就是^y，^y也就是等于1.5^(L-1)* x。如果对于一个深度神经网络来说L值较大，那么y^的值也会非常大，实际上它呈指数级增长的，它增长的比率是1.5^L，因此对于一个深度神经网络，y的值将爆炸式增长。

相反的，如果权重是0.5，

它比1小，这项也就变成了0.5^L，

矩阵

再次忽略W^([L])，因此每个矩阵都小于1，假设x_1和x_2都是1，激活函数将变成1/2，1/2，1/4，1/4，1/8，1/8等，直到最后一项变成1/2^L ，所以作为自定义函数，激活函数的值将以指数级下降，它是与网络层数数量L相关的函数，在深度网络中，激活函数以指数级递减。

我希望你得到的直观理解是，权重W只比1略大一点，或者说只是比单位矩阵大一点，深度神经网络的激活函数将爆炸式增长，如果W比1略小一点，可能是

在深度神经网络中，激活函数将以指数级递减，虽然我只是讨论了激活函数以与L相关的指数级数增长或下降，它也适用于与层数L相关的导数或梯度函数，也是呈指数级增长或呈指数递减。

对于当前的神经网络，假设L=150，最近Microsoft对152层神经网络的研究取得了很大进展，在这样一个深度神经网络中，如果激活函数或梯度函数以与L相关的指数增长或递减，它们的值将会变得极大或极小，从而导致训练难度上升，尤其是梯度指数小于L时，梯度下降算法的步长会非常非常小，梯度下降算法将花费很长时间来学习。

总结一下，我们讲了深度神经网络是如何产生梯度消失或爆炸问题的，实际上，在很长一段时间内，它曾是训练深度神经网络的阻力，虽然有一个不能彻底解决此问题的解决方案，但是已在如何选择初始化权重问题上提供了很多帮助。