求解有向图最短路径算法

2024-11-03 本文已影响0人久别重逢已经那边v发

设 $G=(V,E)$ 为有向图，其中 $V$ 是节点的集合， $E$ 是边的集合。把某个节点作为初始点 $s$ ，另一个作为终点 $t$ 而特殊对待。各边 $e∈E$ 上赋有成本 $c(e)$ ，且都取实数值。在最短路径问题中，成本 $c(e)$ 解释为边 $e$ 的长度。试给出最短路径问题的一个多项式时间算法，并分析其复杂性。

解：

最短路径问题的一个经典多项式时间算法是迪杰斯特拉(Dijkstra)算法。下面是算法的描述及其时间复杂度分析。

算法描述

迪杰斯特拉算法用于找到图中从单一源点 $s$ 到所有其他节点的最短路径。如果图中边的权重都是非负的，那么这个算法是有效的。

1.初始化:

创建一个集合 $S$ ，用于存放已经找到最短路径的节点。
对于所有节点 $v\in V$ .设置两个值:
$\delta(s,v)$ : 从源点 $s$ 到节点 $v$ 的最短路径的长度(初始时，除了源点 $s$ 的 $\delta(s,s)$ 设为0外，其余都设为 $\infty$ )。
$\pi(v)$ : 前驱节点，用于重建最短路径(初始时都设为null)。

2.主循环(直到 $S$ 包含所有 $V$ 中的节点):

a.在所有不在 $S$ 中的节点 $u$ 中，找到 $\delta(s,u)$ 最小的节点，记为 $v$ 。

b.将节点 $v$ 加入集合 $S$ 。

c.对于每个邻接节点 $w$ (即存在边 $v \to w$ ):

如果 $\delta(s, w)> \delta(s, v) + c(v, w)$ .则更新 $\delta(s, w) = \delta(s, v) + c(v, w)$ 和 $\pi(w) = v$ 。

3.算法结束， $\delta(s,v)$ 即是从 $s$ 到 $v$ 的最短路径长度。

复杂度分析

迪杰斯特拉算法的复杂度主要取决于节点的处理和边的松弛操作。

节点处理:在最坏情况下，算法需要处理所有节点，因此这部分的时间复杂度是 $O(V)$ 。
边的松弛操作:在最坏情况下，每条边可能都需要被松弛(更新)。在一个完全图中，边的数量是 $O(V^2)$ ，因此这部分的时间复杂度是 $O(E)$ 。

根据不同的数据结构实现，迪杰斯特拉算法的总时间复杂度有不同的表现:

1.使用简单数组:

选择最小节点的操作是 $O(V)$ .每次松弛操作是 $O(1)$ 。
总复杂度是 $O(V^2 +E)= O(V^2)$ 。

2.使用二叉堆:

选择最小节点的操作是 $O(\log V)$ ，每次松弛操作也是 $O(\log V)$ 。.
总复杂度是 $O((V+E) \log V)$ 。

3.使用斐波那契堆:

选择最小节点的操作是 $O(\log V)$ ，每次松弛操作是 $O(1)$ 。
总复杂度是 $O(V\log V+E)$ 。

注意事项

负权边:迪杰斯特拉算法不适用于带有负权边的图。如果图中存在负权边，应该使用贝尔曼-福特(Bellman-Ford) 算法，它的时间复杂度为 $O(VE)$ ，但可以处理负权边并检测负权环。

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