特征选择粗糙集

什么是粗糙集(四)

2020-02-21  本文已影响0人  思想永不平凡

本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。



本节将介绍经典粗糙集中粒度的度量相关概念。
我们依旧使用这个决策信息系统为例。

U a b c e f d
1 0 1 1 1 0 1
2 1 1 0 1 0 1
3 1 0 0 0 1 0
4 1 1 0 1 0 1
5 1 0 0 0 1 0
6 0 1 1 1 1 0
7 0 1 1 1 1 0
8 1 0 0 1 0 1
9 1 0 0 1 0 0

知识粒度

知识粒度定义如下:
给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,若B \subseteq CU/B=\{X_{1},X_{2},...,X_{m}\},共有m个等价类,则B的知识粒度GP_{U}(B)为:
GP_{U}(B)=\sum_{i=1}^{m} \frac{|X_{i}|^2}{|U|^2}
在粗糙集中,等价类的粒度越细,其划分能力就越强,近似集越精确;否则划分能力就弱,近似集越粗糙。
其中,\frac{1}{|U|} \leq GP_{U}(B) \leq 1。当U/B=\{X_{1},X_{2},...,X_{|U|} \}|U|U元素的个数,此时知识粒度最小\frac{1}{|U| },划分能力最强;当 U/B=\{U\},此时知识粒度最大1,划分能力最弱。

例如,在上表中:
U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\}\}
C的知识粒度为:
GP_{U}(C)=\sum_{i=1}^{5}\frac{|X_{i}|^2}{|U|^2}
= \frac{1^2+2^2+2^2+2^2+2^2}{9^2}
=\frac{17}{81}
相对知识粒度的定义如下:
给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,若P,Q \subseteq AU/P=\{X_{1},X_{2},...,X_{m} \}U/Q=\{Y_{1},Y_{2},...,Y_{n} \}。则Q关于P的相对知识粒度为
GP_{U}(Q \mid P)=GP_{U}(P)-GP_{U}(P \bigcup Q)

例如,在上表中,考虑条件属性集C,决策属性集D,有
U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\} \}

U/C \bigcup D=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8\},\{9\} \}
D关于C的相对知识粒度为
GP_{U}(D \mid C)=GP_{U}(C)-GP_{U}(C \bigcup D)=
=\frac{17}{81}-\frac{15}{81}=\frac{2}{81}
GP_{U}(Q \mid P)表示Q相对于P的分类能力。GP_{U}(Q \mid P)值越大,表示Q相对于P对论域U分类能力越强;反之,分类能力越弱。

属性重要度

内部属性重要度定义如下:
给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,B \subseteq C,若\forall a \in B
则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为:
Sig_{U}^{inner}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B-\{a\})-GP_{U}(D \mid B)
以上表为例,考虑属性a关于条件属性集C相对于决策属性集D的内部属性重要度:
Sig_{U}^{inner}(a,C,D)=GP_{U}(D \mid C-\{a\})-GP_{U}(D \mid C)
=\{ GP_{U}(C-\{a\})-GP_{U}((C-\{a\}) \bigcup D) \}-\{GP_{U}(C)-GP_{U}(C \bigcup D)\}
考虑C-\{a\}\{C-\{a\}\} \bigcup D

U/(C-\{a\})=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\} \}

U/(\{C-\{a\}\} \bigcup D)=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8\},\{9\} \}
所以
Sig_{U}^{inner}(a,C,D)=\{ \frac{17}{81}-\frac{15}{81}\} - \{\frac{17}{81}-\frac{15}{81} \}=0


外部属性重要度定义如下:
给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,B \subseteq C,若\forall a \in (C-B)
则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为:
Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B)-GP_{U}(D \mid B \bigcup \{a\})
还是以上表为例,若B=\{c,e,f\},考虑属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度:
Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B)-GP_{U}(D \mid B \bigcup \{a\})
=\{ GP_{U}(B)-GP_{U}(B\bigcup D)\} - \{ GP_{U}(B \bigcup \{a\})-GP_{U}((B\bigcup \{a\}) \bigcup D) \}
考虑BB\bigcup DB \bigcup \{a\}(B\bigcup \{a\}) \bigcup D
U/B=\{\{1\},\{2,4,8,9\},\{3,5\},\{6,7\}\}
U/(B\bigcup D)=\{\{1\},\{2,4,8\},\{9\},\{3,5\},\{6,7\} \}
U/(B \bigcup \{a\})=\{\{1\},\{2,4,8,9\},\{3,5\},\{6,7\}\}
U/((B\bigcup \{a\}) \bigcup D)=\{\{1\},\{2,4,8\},\{9\},\{3,5\},\{6,7\} \}

所以
Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=\{ \frac{17}{81}-\frac{15}{81}\} - \{\frac{17}{81}-\frac{15}{81} \}=0



必要属性定义如下:
给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,如果Sig_{U}^{inner}(a,C,D)>0,则称属性a是决策信息系统条件属性集C相对于决策属性集D的必要属性。

特别地,S的核属性被定义为
Core_{C}(D)=\{a \in C \mid Sig_{U}^{inner}(a,B,D)>0 \}

显然,属性a不是核属性。

本文内容暂告一段落,之后将继续更新。



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