Dynamic programming（斐波那契数列）

斐波那契额数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34
设计一个函数，求第n位上的数，很简单的方法：

def fib(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    else:
        return fib(n - 1) + fib(n - 2)

但是，这个方法有一个很大的问题，计算重复太多，例如，我们要算fib(5)

• fib(5)
  • fib(4)
    • fib(3)
      • fib(2)
      • fib(1)
    • fib(2)
  • fib(3)
    • fib(2)
    • fib(1)

可以发现，当中有大量的重复计算。我们可以设计一个备忘录，将算过的数值保存进去。

dic = {}
def fib2(n):
    if n in dic:
        return dic[n]
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    value = fib2(n - 1) + fib2(n - 2)
    dic[n] = value
    return value

或者，从下而上进行动态规划

dp = []
def fib3(n):
    dp = [0] * (n + 1)
    if n == 0:
        return 0
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    return dp[n]

比较fib(40),三种方法的时间分别是

27.43297505378723
3.62396240234375e-05
1.5020370483398438e-05

我们发现，时间成指数下降

我们发现，其实，f(n) 只和前两个数字有关，所以，第三种方法没有必要设置一个n+1长的盒子来保存数字，将fib3优化：

def fib4(n):
    if n == 2 or n == 1:
        return 1
    prev = 1
    curr = 1
    for i in range(3, n + 1):
        sum = prev + curr
        prev = curr
        curr = sum
    return curr

时间进一步降低：

6.9141387939453125e-06