Mie相位函数

相位函数是描述介质内散射光线角度分布的函数，其与介质的物理特征（颗粒大小、折射率等）有关。

多通道模型不能得以广泛应用的一个重要原因就是散射函数计算的复杂性。多通道模型中散射系数 S_ij 的值与米氏相位函数 P(Θ) 有关，而相位函数可以用勒让德多项式表示：

其中，a_l 为勒让德系数，其值由相位函数来计算：

该值计算的复杂程度使得多通道模型的难度大幅增加。George C. Clark 等人发表的两篇论文《Representation of the Angular Distribution of Radiation Scattered by a Spherical Particle》和《Angular Distribution Coefficients for Radiation Scattered by a Spherical Particle》专注于米氏相位函数的计算。当然，由于米氏理论推出的相位函数过于复杂，也有许多学者如 Henyey-Greenstein 试图通过更简单的函数如 H-G 相位函数来模拟米氏相位函数，也取得了较好的结果。

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我先看了 George C. Clark 等人发表的两篇论文。

一束单位强度的准直光在颗粒处发生散射，进入到 (θ, φ) 方向的光强度 i(θ, φ) 为：

从单位强度的随机偏振光束散射到单位球面度的通量，即 i(θ, φ) 相对于 φ 的平均值为：

i₁ 和 i₂ 都是强度函数，公式过于复杂，我就不贴出来了。其中涉及到的变量包括散射角度 θ、颗粒直径 D、单色光波长 λ、颗粒复杂折射率 m^*。

相位函数 f(θ) 被定义为在 θ 方向上的单位立体角的散射通量所占的比例：

上式中，K(m^*，α) 为介质散射系数，也常记为 Q_sca。也可以看出，要计算散射光线的角度分布，是十分复杂的。因此，他们决定用一系列勒让德多项式来表示相位函数：

P_n 为勒让德多项式，a_n 为勒让德系数，它是 α 和 β 的函数，α = πD / λ，β = m^*α .

使用勒让德多项式表示相位函数，除了计算相对简单外，也更容易推出第 k 次散射的相位函数：

这样的表示，使得大部分计算工作集中在 a_n 的计算。实际上，a_n 的计算也并不容易，需要利用已知的 f(θ)，通过画图或正交法来完成：

然而画图 / 正交法计算得到的值仍然是不准确的。最后，他们又进行了近一步的演算，将乘法与偏导转换为加法形式，得到了计算 a_n 的公式，但是这个公式仍然是非常非常复杂（但是对于计算机来说，计算速度会快很多），我也不想贴出来了... 之后，他们对这个公式进行了验证，在 k = 0（即无吸收介质）、m = 1.33 的情况下，对于 α 在 1 ~ 30 内的情况下，这个公式的误差是很小的。

因此，如果是对于精确度要求高的场景下，可以使用这个公式进行相位函数相关的值的计算。例如，计算向前散射的光通的比例（即 4-flux model 中的 ξ 值）：

总结：这两篇论文看完，还是觉得米氏相位函数超级复杂，虽然转换后的公式可以由计算机来执行计算，但在一些场景下，往往是手算占多数。所以，在对精确度要求不那么高的情况下，可以考虑使用简化的相位函数来代替米氏相位函数。

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之后又看了几篇论文，提到最多的是 H-G 相位函数：

α 为单散射的反射率；μ = cosθ；g = a₁/3，a₁ 是勒让德系数，是一个与颗粒大小和折射率有关的值。

从上面的内容可以知道，a₁ 的值仍然是和米氏相位函数挂钩的，也很难计算。好在 K. T. Mehta 和 H. S. Shah 发表了一篇论文《Correlating parameters of the Henyey-Greenstein phase function equation with size and refractive index of colorants》，将 g 值与颗粒大小和折射率结合起来，提供一个完整的可以模拟米氏相位函数的 H-G 相位函数；另外，他们在论文《Simplified Method of Calculating Legendre Coefficients for Computing Optical Properties of Colorants》中还提供了计算勒让德系数的简单方法，且精确度较高。↓↓↓

《Correlating parameters of the Henyey-Greenstein phase function equation with size and refractive index of colorants》

在 H-G 相位函数中，g 值的变化是相位函数形状不同的原因。当 g = 0 时，散射形状是各向同性的，随着 g 值的增加，向前散射的比例逐渐增大。

Reynolds 和 McCormick 提出，g 值与颗粒大小参数 X（颗粒直径与单色光波长之比）以及相对折射率 m 有关，而对于折射率小的大颗粒，H-G 相位函数可以很好地模拟米氏相位函数。Allen 认为，g 值与颗粒大小以及折射率之间的关系，可以通过 g = a₁/3 来进行关联。但是后来的对比实验（H-G 相位函数与米氏相位函数的对比）结果表明，令 g = a₁/3 得到的 H-G 相位函数与米氏相位函数差异较大；论文中提出一种新的公式，将 g 与 X、m 进行关联：

各项系数的值由折射率 m 决定：

对比实验结果表明，新公式计算的 g 得到的相位函数能更好地拟合米氏相位函数。且得到的相位函数用于预测介质反射率的效果也与米氏相位函数接近。

可以说，将 g 值新公式与 H-G 相位函数结合，可以在多通道模型的计算中，很好地替代复杂的米氏相位函数。

《Simplified Method of Calculating Legendre Coefficients for Computing Optical Properties of Colorants》

这篇论文主要是提出计算勒让德系数 a₁ 和 a₂ 的简化公式，因此也简化了与勒让德系数相关的一系列重要系数的计算，最后对简化公式的准确性进行了对比实验（与根据米氏相位函数计算得到的勒让德系数进行比较）。

先上计算公式：

勒让德系数的应用：

1. K-M 理论中散射系数的计算

K-M 理论中的吸收系数 K 和散射系数 S 是与颗粒大小、折射率有关的系数。米氏散射系数 s 和吸收系数 k 可以根据颗粒大小、折射率的值进行计算，且满足 K = 2k，S = 0.75s(1- a₁/3) 。因此，有了这个计算 a₁ 的简便公式，K 和 S 的计算也得到了简化。

2. 相位函数

用于替代米氏相位函数的几个简化相位函数，如 H-G 相位函数、T-P 相位函数：

其中的 g、h 都是与勒让德系数相关的系数：g = a₁/3，h = 2a₂/15 + 1/3. 因此，计算勒让德系数的简便公式使得简化的相位函数也可以得以应用。

3. 颜色颗粒的折射率的计算

对于给定的折射率实部，构造 a₁、a₂ 与折射率虚部的理论函数曲线，然后根据实际值，即可得到实际的复杂反射率。

对比实验的结果表明，这个简化版的勒让德系数计算公式准确度还是较高的。