积分题10

2021-01-03 本文已影响0人 Raow1

2019-3-5. 对于区域 $G = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x^2 + y^2 < z < 3+2x \}$ ，其边界 $\partial G$ 的侧由其向外的法线确定。计算曲面积分 $\int\limits_{\partial G} z \mathrm d x \mathrm d y$ 。坐标系为笛卡尔直角坐标系。

由高斯公式知：
$\begin{align*} \int\limits_{\partial G} z \mathrm d x \mathrm d y &= \iiint\limits_{G} \frac{\partial z}{z} \mathrm dv \\ &= \iint\limits_{(x-1)^2 + y^2 < 4} \mathrm dx \mathrm dy \int_{x^2+y^2}^{3+2x} \mathrm dz \\ &= - \iint\limits_{(x-1)^2 + y^2 < 4} [(x-1)^2 + y^2 - 4] \mathrm dx \mathrm dy \\ &= - \int_0^2 \rho(\rho ^2 -4) \mathrm d \rho \int_0 ^{2 \pi} \mathrm d \theta \\ &= 8 \pi \end{align*}$

积分题10

2019-3-5. 对于区域 $G = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x^2 + y^2 < z < 3+2x \}$ ，其边界 $\partial G$ 的侧由其向外的法线确定。计算曲面积分 $\int\limits_{\partial G} z \mathrm d x \mathrm d y$ 。坐标系为笛卡尔直角坐标系。

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