怎么求含参数的函数的单调区间？

2020-07-19 本文已影响0人天马无空

求含参数的函数的单调区间

使用情景：函数的解析式中含有参数

解题步骤：

第一步求出函数 $f(x)$ 的定义域并求出函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ ；

第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数 $f'(x)$ 按照给定的区间大于0或小于0；

第三步求出不同情况下的极值点进而判断其单调区间.

例2 已知函数 $f(x)=x^3+\dfrac{3}{2}(a-1)x^2-3ax+1,a \in \mathbb{R}$ ．讨论函数 $f(x)$ 的单调区间.

【解析】

$f'(x)=3x^2+3(a-1)x-3a=3(x-1)(x+a)$ ，

令 $f’(x)=0$ 得 $x_1=1,x_2=-a$

①当 $-a=1$ ，即 $a=-1$ 时，

$f'(x)=3(x-1)^2 \geqslant 0$ ，

$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增.

②当 $-a<1$ ，即 $a>-1$ 时，

当 $x<-a$ 或 $x>1$ 时， $f'(x)>0$ ， $f(x)$ 在 $(-\infty ,-a)$ 和 $(1,+\infty)$ 内单调递增；

当 $-a<x<1$ 时， $f'(x)<0$ ， $f(x)$ 在 $(-a,1)$ 内单调递减.

③当 $-a>1$ ，即 $a<-1$ 时，

当 $x<1$ 或 $x>-a$ 时， $f'(x)>0$ ， $f(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 和 $(-a,+\infty)$ 内单调递增；

当 $1<x<-a$ 时， $f'(x)<0$ ， $f(x)$ 在 $(1,-a)$ 内单调递减.

综上，

当 $a<-1$ 时， $f(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 和 $(-a,+\infty)$ 内单调递增，在 $(1,-a)$ 内单调递减；

当 $a=-1$ 时， $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增；

当 $a>-1$ 时， $f(x)$ 在 $(-\infty ,-a)$ 和 $(1,+\infty)$ 内单调递增，在 $(-a,1)$ 内单调递减.

【总结】解决含参数的函数的单调区间的关键是正确地讨论 $1$ 与 $a$ 的大小关系，并正确地判断导数的符号，进而确定函数的单调区间.

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