2020 时序分析(20) ARMA 模型

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ARMAR 模型

ARMA 模型的形式
ARMA 模型的平稳性条件
MA 模型的可逆性条件
ARMA 过程的自相关函数和 Yule-Walker 方程
ARMA 过程的偏自相关函数
Box-Jenkins 建模方法
ARMA 模型的预测

ARMA 模型的形式

自回归移动平均(autogressive moving average model ) 模型是平稳时间序列分析模型

ARMA(p,q) 模型

$y_t = c + \alpha_1 y_{t-1} + \alpha_2y_{t-2} \cdots + \alpha_p y_{t-p} + \epsilon_t - \beta \epsilon_{t-1} - \cdots - \beta_q \epsilon_{t-q}$
可以看出 ARMA 是由 AR 和 MA 两部分组成，在 AR 部分可以看出是收到其自身的滞后的影响。除了受到随机扰动项影响，还会收到一些滞后随机扰动项的影响，这就是 MA 模型

AR(p) 模型

$y_t = c + \alpha_1 y_{t-1} + \alpha_2y_{t-2} \cdots + \alpha_p y_{t-p} + \epsilon_t$

MA(q) 模型

$y_t = c + \epsilon_t - \beta \epsilon_{t-1} - \cdots - \beta_q \epsilon_{t-q}$

在自回归的系数都是用 alpha 而在移动平均系数用的 beta，而且在 ARMA 所有系数符号还需要注意，也就是 beta 系数前面用了负号，其实完全可以不用负号，这里用负号就是便于推导

ARMA 模型的滞后算子多项式表示形式

自回归(AR)系数多项式
$A(L) = 1 - \alpha_1 L - \alpha L^2 - \alpha_p L^p$
移动平均(MA)系数多项式
$A(B) = 1 - \beta_1 L - \beta L^2 - \beta_q L^q$
ARMA(p,q)模型可以简化表示为
$A(L) y_t = c + B(L)\epsilon_t$
AR(p)模型可以简化表示为
$A(L)y_t = c + \epsilon_t$

ARMA 模型的传递形式和逆转表示形式

ARMA(p,q)模型的传递形式
$y_t = \frac{c + B(L)\epsilon_t}{A(L)} = \frac{c}{A(1)} + \frac{B(L)}{A(L)}\epsilon_t$

对于常数的的滞后期是没有用的，不过这里还有其他系数,传递形式就是将输入转换输出，那么上面 B(L)/A(L) 可以看作一个整体系数，也就是 epsilon 的系数，这样就可以将 epsilon 看作输入自变量而 y 看作输出因变量。

AR(p)模型的传递形式
$y_t = \frac{c + \epsilon_t}{A(L)} = \frac{c}{A(1)} + \frac{\epsilon_t}{A(L)}$
ARMA(p,q)模型的逆传形式
$\epsilon_t = \frac{A(L)y_t - c}{B(L)} = \frac{A(L)y_t}{B(L)} - \frac{c}{B(1)}$
这里 epsilon 作为输出，而输入变成了 y 这是为了逆函数问题，所以这里给大家介绍一下，
MA(p,q)模型的逆传形式

$\epsilon_t = \frac{y_t - c}{B(L)} = \frac{y_t}{B(L)} - \frac{c}{B(1)}$

到现在大家可能会想为什么要构建 ARMA 模型，这是因为数据特征，我们是根据数据特征来构建模型，如果时间序列符合特征，我们就可以构建模型来解决时间序列问题。