Chapter6—样本及抽样分布

2019-08-12 本文已影响0人 crishawy

1. 样本

定义：

设 $X$ 是具有分布函数 $F$ 的随机变量，若 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 是具有分布函数F的相互独立的随机变量，则称 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，样本的观察值 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 称为样本值。

2. 抽样分布

常用的统计量：

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本， $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 为对应的样本值，则

样本均值： $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$

样本方差： $S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}$ (为什么除以n-1?为了产生方差的无偏估计)，证明可见https://blog.csdn.net/qq_16587307/article/details/81328773

样本标准差： $S=\sqrt{S^{2}}$

k阶(原点)矩： $A_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{k}$

k阶中心矩：B_{k}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{{n}(X_{i}-\bar{X})}{k}
注：上述统计量均是对抽样样本的描述，而不是总体的描述。

三个重要的定理：

设 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，若 $E(X)=\mu,D(X)=\sigma^{2}$ ，其中 $\mu$ 和 $\sigma^{2}$ 均是总体 $X$ 的均值和方差，则有

$E(\bar{X})=E(X)=\mu$

$D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

$E(S^{2})=D(X)=\sigma^{2}$