P31-35数学期望

2019-10-05 本文已影响0人陈文瑜

离散型随机变量的数学期望

$0 \sim 10 环$
$次数 n_0 \quad n_1 \quad n_2... \quad n_{10}$
$\sum_{k=0}^{10} n_k = N$

平均值
$E_N = \frac {0 \times n_0 +1 \times n_1 +2 \times n_2 +...+ 10 \times n_{10}}{N} \\ =0 \times \frac {n_0}{N} + 1 \times \frac {n_1}{N}+2 \times \frac {n_2}{N}+...+10 \times \frac {n_{10}}{N} \\ = \sum _{k=0}^{10} k \times \frac {n_k}{N} \\ = \sum _{k=0}^{10} k \times p_k$

连续型随机变量的数学期望

$X$ 的概率密度函数 $f(x)$
称 $EX = \int_{- \infty}^{+ \infty} xf(x)dx$ 为 $X$ 的数学期望
分析
这里的x 就是上面的k ,f(x)是上面的 $p_k$

随机变量函数的数学期望

$X为随机变量，Y=g(X)$

$X为离散型随机变量，其概率函数为p_k = P\{X=x_k\}，k=1,2,...$
则 $EY = Eg(X)=\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k$
$X为连续型，密度函数为f(x)$
则 $EY = Eg(X) = \int _{- \infty}^{+ \infty} g(x)f(x)dx$

二维随机变量数学期望

$(X,Y)二维随机变量，Z=g(X,Y),g(x,y)为二元连续函数$

$(X,Y)为离散型随机变量联合分布为$
$P\{X=x_i,Y=y_j\} = p_{ij}，i，j =1,2,...$
则 $EZ = Eg(X,Y)= \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty g(x_i,y_j)p_{ij}$
$(X,Y)为二维连续型随机变量，密度函数f(x,y)$
$EZ =Eg(X,Y)= \int _{- \infty}^{+ \infty}\int _{- \infty}^{+ \infty} g(x,y)f(x,y)dxdy$

数学期望的性质

。。。

条件数学期望

$(X,Y)为二维离散型随机变量其联合分布为P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} (i,j=1,2,...)$
在 $Y=y_j$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布为
$P(X=x_i|Y=y_j) i=1,2,...$
在 $Y=y_j$ 条件下 $X$ 的条件数学期望为
$\sum_i x_i \times P(X=x_i | Y=y_j)$ 记作 $E(X|Y=y_j)$
$连续型随机变量(X,Y)，条件密度函数f(x|y)$
称 $\int _{- \infty}^{\infty} xf(x|y)dx$ 为
在 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件数学期望，记作 $E(X|Y=y)$

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