拉格朗日插值方法

2019-01-24 本文已影响5人萍水间人

提出问题，对于某一个未知函数的一组观测或者实验数据，寻找一个多项式函数，使这个多项式函数能够过这些点

拉格朗日插值法

对于函数y=f(x), 在n+1个相异点 $x_{1}, x_{2} ... x_{n}$ 上的函数值为 $y_{1}, y_{2}, ...y_{n}$ 要求一个次数不超过n的多项式
使得， $p_n(x) = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n$
在结点 $x_{i}$ 上有
$p_n(x_i)=y_i(i=0,1,2,3,...,n)$
这时候称 $p_n(x)$ 为插值多项式

显然 $f(x)$ 的 n+1个系数满足

条件

记方程的系数矩阵为A

系数矩阵

显然是一个范德蒙行列式，且只需要 $x_0, x_1, ..., x_n$ 互不相同，则方程组必有解。

还需要考虑一个截断误差

截断误差

拉格朗日插值多项式
首先构造一个基函数

基函数

且这个函数满足条件

特点

于是拉格朗日插值方法就得到了。

拉格朗日插值法

当 $f(x) 在 [a, b]上充分光滑时$
利用roller定理推导出，对于任意的x属于[a, b]
插值多项式的余项

余项

如题：

例题

由拉格朗日插值法

结果

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