南开大学考研高代真题精粹

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2004

1.设 $n$ 阶行列式 $\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\ldots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right|=1$ 且满足 $a_{i j}=-a_{j i}, i, j=1,2, \cdots, n$ 对任意 $b$ ，求 $n$ 阶行列式 $\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}+b} & {a_{12}+b} & {\cdots} & {a_{1 n}+b} \\ {a_{21}+b} & {a_{22}+b} & {\cdots} & {a_{2 n}+b} \\ {\cdots} & {\ldots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}+b} & {a_{n 2}+b} & {\cdots} & {a_{n n}+b}\end{array}\right|=?$
5.给定 $\mathbb{R^2}$ 的标准度量。求出 $\mathbb{R^2}$ 中所有保持下列正方形

image.png
（其中A=（1，1），B=（-1，1），C=（-1，-1），D=（1，-1）））整体不变（即正方形四条边上的点经过变换后仍落在这四条边上）的正交变换.
6.（20分）设

V

为

n

维复线性空间，

M

是

V

上一些线性变换组成的非空集合.已知

M

中的元素没有非平凡的公共不变子空间。又线性变换

B

满足

A B=B A, \forall A \in M

证明：必存在复数使得

B=\lambda I

，其中

I

为恒等变换.
8.（15分）在实

n

维线性空间

R^n

中是否可能存在线性变换

A

满足

A^{2}+I=0

其中

I

为单位变换.证明你的结论.

2005

二、设齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}{x_{2}+a x_{3}+b x_{4}=0} \\ {-x_{1}+c x_{3}+d x_{4}=0} \\ {a x_{1}+c x_{2}-e x_{4}=0} \\ {b x_{1}+d x_{2}-e x_{3}=0}\end{array}\right.$ 的一般解以 $x_3,x_4$ 为自变量。
（1）求a，b，c，d，e满足的条件；
（2）求齐次线性方程组的基础解系。
四.（20分）设 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{AX}$ 和 $\mathrm{g}\left(\mathrm{y}_{1}, \mathrm{y}_{2}, \ldots, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{B} \mathrm{Y}$ 均为实数域上 $n$ 元二次型，且存在实数域上 $n$ 阶方阵 $C$ 和 $D$ 使得 $A=D'BD，B=C'AC$ ，证明： $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)$ 和 $\mathrm{g}\left(\mathrm{y}_{1}, \mathrm{y}_{2}, \ldots, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)$ 具有相同的规范形
八.（15分）设 $V$ 为数域 $P$ 上 $n$ 维线形空间（ $n≥1$ ）.证明：必存在 $V$ 中一个无穷的向量序列 $\left\{\alpha_{\mathrm{i}}\right\}_{\mathrm{i}=1}^{\infty}$ 使得 $\left\{\alpha_{\mathrm{i}}\right\}_{\mathrm{i}=1}^{\infty}$ 中任何 $n$ 个向量都是 $V$ 的一组基.

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