高考理数解析几何大题：上海卷2011年到2022年

2022-12-03 本文已影响0人易水樵

2011年理数上海卷题23

分值：18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.）

已知平面上的线段 $l$ 及点 $P$ . 任取 $l$ 上一点 $Q$ ，线段 $PQ$ 长度的最小值称为点 $P$ 到线段 $l$ 的距离，记作 $d(P,l)$ .

（1）求点 $P(1,1)$ 到线段 $l:x-y-3=0(3 \leqslant x \leqslant 5)$ 的距离 $d(P,l)$ ；

（2）设 $l$ 是长为 $2$ 的线段，求点的集合 $D=\lbrace P|d(P,l) \leqslant 1 \rbrace$ 所表示的图形面积；

（3）写出到两条线段 $l_1、l_2$ 距离相等的点的集合 $\Omega = \lbrace P| d(P,l_1)=d(P,l_2) \rbrace$ ，其中 $l_1=AB,l_2=CD$ ， $A、B、C、D$ 是下列三组点中的一组.

对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是 ①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.

① $A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)$ ;

② $A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2)$ ;

③ $A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)$ .

2011年理数上海春季卷题21

分值：14分（第1小题满分4分，第2小题满分10分）

已知抛物线 $F:x^2=4y$ .

（1） $\triangle ABC$ 的三个顶点在抛物线 $F$ 上，记 $\triangle ABC$ 的三边

$AB、BC、CA$ 所在直线的斜率分别为 $k_{_{AB}}、k_{_{BC}}、k_{_{CA}}$ ，若点 $A$ 在坐标原点，求 $k_{_{AB}}-k_{_{BC}}+k_{_{CA}}$ 的值；

（2）请你给出一个以 $P(2,1)$ 为顶点，且其余各顶点均为抛物线 $F$ 上的动点的多边形，写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由.

说明∶第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.

2012年理数上海卷题22

分值：16分. 第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C_1: 2x^2-y^2=1$ .

（1）过 $C_1$ 的左顶点引 $C_1$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 $x$ 轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为 $1$ 的直线 $l$ 交 $C_1$ 于 $P、Q$ 两点.若 $l$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，求证： $OP \perp OQ$ ；

（3）设椭圆 $C_2∶4x^2+y^2=1$ . 若 $M、N$ 分别是 $C_1、C_2$ 上的动点，且 $OM \perp ON$ ，

求证： $O$ 到直线 $MN$ 的距离是定值.

2012年理数上海春季卷题21

分值：14分. 第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知双曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ .

（1）求与双曲线 $C_1$ 有相同的焦点，且过点 $P(4,\sqrt{3})$ 的双曲线 $C_2$ 的标准方程；

（2）直线 $l:y=x+m$ 分别交双曲线 $C_1$ 的两条渐近线于 $A、B$ 两点.当 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =3$ 时，求实数 $m$ 的值.

2013年理数上海卷题22

分值：16分. 本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3 小题满分8 分。

如图, 已知双曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{2} -y^2=1$ , 曲线 $C_2:|y|=|x|+1$ . $P$ 是平面内一点, 若存在过点 $P$ 的直线与 $C_1,C_2$ 都有公共点 , 则称 $P$ 为“ $C_1 - C_2$ 型点”.

(1)在正确证明 $C_1$ 的左焦点是“ $C_1 - C_2$ 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线 $y=kx$ 与 $C_2$ 有公共点, 求证 $|k| \gt 1$ , 进而证明原点不是 “ $C_1 - C_2$ 型点”;

(3)求证：圆 $x^2+y^2=\dfrac{1}{2}$ 内的点都不是 “ $C_1 - C_2$ 型点”

2013年理数上海卷题22

2014年理数上海卷题22

分值：16分.本题共有 3个小题,第1小题满分3 分,第2小题满分5分,第3 小题满分8分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 对于直线 $l:ax +by +c =0$ 和点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ , 记 $\eta =(a x_1 + b y_1 +c)(a x_2 + b y_2 +c)$ . 若 $\eta \lt 0$ , 则称点 $P_1,P_2$ 被直线 $l$ 分隔. 若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点, 且曲线 $C$ 上存在点 $P_1,P_2$ 被直线 $l$ 分隔, 则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.

(1)求证: 点 $A(1,2),B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分隔;
(2)若直线 $y=kx$ 是曲线 $x^2-4y^2=1$ 的分隔线, 求实数 $k$ 的取值范围
(3)动点 $M$ 到点 $Q (0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 $1$ , 设点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ . 求证: 通过原点的直线中,有且仅有一条直线是 $E$ 的分隔线.

2015年理数上海卷题21

分值：14分. 本题共有 2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分

已知椭圆 $x^2+2y^2=1$ , 过原点的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别与椭圆交于点 $A、B$ 和 $C、D$ . 记得到的平行四边形 $ACBD$ 的面积为S.

(1)设 $A(x_1,y_2),C(x_2,y_2)$ . 用 $A、C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线的距离, 并证明 $S=2|x_1y_2 - x_2y_1|$

(2)设 $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率之积为 $-1$ , 求面积 $S$ 的值.

2016年理数上海卷题21

分值：14分（第1小题6分，第2小题8分）

双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1、F_2$ ，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与双曲线交于 $A、B$ 两点.

（1）若 $1$ 的倾斜角为 $\dfrac{\pi}{2}$ ， $\triangle F_1AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 $b=\sqrt{3}$ . 若 $l$ 的斜率存在，且 $(\overrightarrow{F_1A} + \overrightarrow{F_1B} ) \cdot \overrightarrow{AB} =0$ ，求 $l$ 的斜率.

2017年山东卷题21

分值：14分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1(a\gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 $2$ .
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 $l:y=k_1x -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点， $C$ 是椭圆 $E$ 上一点，直线 $OC$ 的斜率为 $k_2$ ，且 $k_1k_2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ， $M$ 是线段 $OC$ 延长线上一点，且 $|MC|:|AB|=2:3$ ， $\odot M$ 的半径为 $|MC|$ ， $OS,OT$ 是 $\odot M$ 的两条切线，切点分别为 $S,T$ . 求 $\angle SOT$ 的最大值，并求取得最大值时直线 $l$ 的斜率.

2017年山东卷题21

2020年理数上海春季卷题20

分值：16分

已知抛物线 $y=x^2$ 上的动点 $M(x_0,y_0)$ , 过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P,Q$ 两点 ( $P,Q$ 异于点 $M$ ), 交直线 $x=t$ 于 $A,B$ 两点.

(1)若点 $M$ 的纵坐标为 $\sqrt{2}$ , 求点 $M$ 与焦点的距离；
(2)若 $t= -1,P(1,1),Q(1,-1)$ , 求证： $y_{_A} \cdot y_{_B}$ 为常数；
(3)是否存在 $t$ , 使得 $y_{_A} \cdot y_{_B} =1$ 且 $y_{_P} \cdot y_{_Q}$ 为常数？若存在, 求出 $t$ 的所有可能取值；若不存在, 请说明理由.

2021年理数上海卷题20

分值：16分

如图, 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ , $F_1,F_2$ 分别是其左、右焦点, 直线 $l$ 过点 $P(m,0)(m \lt -2)$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $A,B$ 两点, 且 $A,B$ 在 $x$ 轴上方, 点 $A$ 在线段 $BP$ 上.

(1)若 $B$ 是上顶点, $|BF_1|=|PF_1|$ , 求 $m$ 的值；

(2)若 $\overrightarrow {F_1A} \cdot \overrightarrow {F_2A} = \dfrac{1}{3}$ , 且原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\dfrac{4\sqrt{15}}{15}$ , 求直线 $l$ 的方程;

(3)求证：对于任意 $m \lt - 2$ , 使得 $\overrightarrow {FA}// \overrightarrow {FB}$ 的直线有且仅有一条.

2021年理数上海卷题20

2021年理数上海春季卷题19

分值：14分

（1）某团队在基地 $O$ 点西侧东侧 $20$ 千米处分别设有 $A,B$ 两站点, 测量距离发现一点 $P$ 满足 $|PA|-|PB|=20$ 千米, 可知 $P$ 在以点 $A,B$ 为焦点的双曲线上. 以 $O$ 点为坐标原点，正东方向为 $x$ 轴正半轴方向，正北方向为 $y$ 轴正半轴方向, 建立平面直角坐标系, 点 $P$ 在基地 $O$ 点北偏东 $60°$ 处, 求双曲线的标准方程和 $P$ 点的坐标.

（2）该团队又在基地点南侧、北侧 $15$ 千米处分别设有 $C,D$ 两站点测量距离发现一点 $Q$ 满足 $|QA|-|QB|=30$ 千米, $|QC|-|QD|=10$ 千米, 求 $|OQ|$ (精确到 $1$ 千米)和 $Q$ 点的位置精确到 $1$ 千米, $1°$ ).

2022年理数上海春季卷题20

分值：16分

在椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 中, $A,B$ 分别为椭圆的左顶点和下顶点, $F$ 为右焦点, $C,D$ 两点均在直线 $x =a$ 上, 且 $C$ 在第一象限.
（1）若 $\angle AFB=\dfrac{\pi}{6}$ , 求椭圆 $\Gamma$ 的标准方程:
（2）若 $C,D$ 两点的纵坐标分别为 $2$ 和 $1$ . 判断：直线 $BC$ 与 $AD$ 的交点是否在椭圆 $\Gamma$ 上, 并说明理由；
（3）设直线 $BC$ 与椭圆 $\Gamma$ 交于点 $P$ , 直线 $AD$ 与椭圆 $\Gamma$ 交于点 $O$ , 且 $P,Q$ 关于原点对称, 求 $|CD|$ 的最小值