dijkstra算法：寻找到全图各点的最短路径

dijkstra算法介绍：即迪杰斯特拉算法，是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止，是一种广度优先的搜索方法。
dijkstra算法原理：最优子路径存在。假设从S→E存在一条最短路径SE，且该路径经过点A，那么可以确定SA子路径一定是S→A的最短路径。证明：反证法。如果子路径SA不是最短的，那么就必然存在一条更短的'SA，从而SE路径也就不是最短，与原假设矛盾。
dijkstra算法缺点：与此前说过的viterbi不同，此算法能够求出从起点到其余每个结点的最短路径，所以需要遍历所有的路径和结点，计算复杂度比较大。
dijkstra算法例子：求从结点0到各个结点的最短路径。

step1：首先建立两个集合S=｛｝：表示已经找到最短路径的结点；U=｛｝：表示尚未找到最短路径的结点。显然，S与U互为补集，S U U=所有结点组成的集合，当U为空的时候算法结束，所有结点最短路径均已找到。
step2：建立一个数组dist[i]，用于存放起点0到该结点i的最短路径（可能需要更新，接下来会解释）。然后再建立一个布尔数组s[i]（初值均为0），用于表示该结点是否已经找到最短路径，如已经找到便不再遍历。
step3：具体执行部分：
A：初始点设定。对于结点0，首先将其纳入到S集合中，然后寻找并计算与结点0直接相连路径的长度，即dist[1]=100,dist[30]=2,dist[4]=10（这时dist[0]=0）。而不能直接到达的结点距离为无限大∞。这里使用dist[3]=99999，方便程序比较大小。然后使s[0]=1，表示已经遍历过该结点。
B：选取最小dist[i]。比较dist[1],dist[3],dist[4]的长度，选择长度最短的dist[4]，并将结点4纳入到S集合中，令s[4]=1，表明0到4的最短路径已经找到，且值为10。原因：最优子路径存在原理。由于dist[1],dist[3]均大于dist[4]，所以若选择走经过结点1、3到达结点4路径，无论如何也不可能找到一条小于直接从结点0到结点4的路径！这个结论非常非常非常重要，是理解这个算法的关键！后面会反复用到，每一轮循环都要比较并选取最小的dist[i]。
C：更新dist[i]。现在，我们开始以结点4为中心向外扩展（广度优先）。现在，结点4可以到达结点3了，也表明从结点0可以通过结点4到达结点3了。至于要更新dist[i]的原因如下图：
在第一次选择中，我们纳入了起点A，然后由于dist[C]=6<dist[B]=20，我们又纳入了C点。这时，我们发现我们还可以通过C点到达B点，所以我们必须比较dist[B]与dist[C]+|CB|的大小。这以下这个例子中，显然6+7=13<20，所以dist[B]需要从20更新成13。所以，我们不难发现：每纳入一个新的结点，我们都需要比较由这个结点新扩展出来结点所生成路径与原来路径的长度。

step4：重复上述步骤B、C，直到U集合清空，s[i]中所有值均为1。这就表明图中所有点都找到了最短路径。

下面放出以上例子的步骤表，如果能理解就表明基本了解dijkstra算法的思想了。

最后，从结点0到各个点的最短路径就都算出来了。
dijkstra算法重点：理解为何需要选取最小的dist[i]；理解为何需要更新dist[i]。

以下是具体C++代码实现，这里还加入了最短路径经过结点的记录。

#include <iostream>
using namespace std;
 
const int maxnum = 100;
const int maxint = 999999;
 
 
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
{
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中
    
    // 确认起始节点并设置相关参数
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        dist[i] = c[v][i];     // 将邻接矩阵中数据传入dist[]中
        s[i] = 0;     // 初始所有点都未纳入S中
        if(dist[i] == maxint)
            prev[i] = 0;     // 该点暂时没找到前驱结点
        else
            prev[i] = v;     // 该点的前驱结点为起始点v
    }
    dist[v] = 0;
    s[v] = 1;
 
    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        int tmp = maxint;
        int u = v;
        
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
            {
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
                tmp = dist[j];
            }
        s[u] = 1;    // 表示u点已存入S集合中
 
        // 更新dist，用更小的值代替原先的值
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
            {
                int newdist = dist[u] + c[u][j];
                if(newdist < dist[j])
                {
                    dist[j] = newdist;
                    prev[j] = u;
                }
            }
    }
}

// 记录下这条最短路径的路线（经过的结点） 
void searchPath(int *prev,int v, int u)
{
    int que[maxnum];
    int tot = 1;
    que[tot] = u;
    tot++;
    int tmp = prev[u];
    while(tmp != v)
    {
        que[tot] = tmp;
        tot++;
        tmp = prev[tmp];
    }
    que[tot] = v;
    for(int i=tot; i>=1; --i)
        if(i != 1)
            cout << que[i] << " -> ";
        else
            cout << que[i] << endl;
}
 
int main()
{
    // 各数组都从下标1开始
    int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度
    int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点
    int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度
    int n, line;             // 图的结点数和路径数
 
    // 输入结点数
    cin >> n;
    // 输入路径数
    cin >> line;
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度
 
    // 初始化c[][]为maxint
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            c[i][j] = maxint;
 
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {
        cin >> p >> q >> len;
        if(len < c[p][q])       // 有重边
        {
            c[p][q] = len;      // p指向q
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图
        }
    }
 
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        dist[i] = maxint;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            printf("%8d", c[i][j]);
        printf("\n");
    }
    
    // 假定起点为结点1
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
 
    // 最短路径长度
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;
 
    // 路径
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
    
    // 假定起点为结点1
    searchPath(prev, 1, n);
}