高中数学纲目

初高中衔接讲座：正三角形内的定值问题

2021-09-30 本文已影响0人易水樵

正三角形内的定值问题

已知： $\triangle ABC$ 是等边三角形. 点 $Q$ 为 $\triangle ABC$ 内一动点; $QD \perp BC, QE \perp CA, QF \perp AB$ ; 点 $D,E,F$ 为垂足.

求证： $|QD| + |QE| + |QF|$ 为定值，并求此定值.

【证法1】

基本思路：应用面积公式，将线段和转化为面积和。

作辅助线 $QA,QB,QC$ .

因为 $QD \perp BC, QE \perp AC, QF \perp AB$ ,

所以

$S_{\triangle QBC} = \dfrac {1} {2} BC \cdot QD$

$S_{\triangle QAC} = \dfrac {1} {2} AC \cdot QE$

$S_{\triangle QAB} = \dfrac {1} {2} AB \cdot QF$

因为

$AB=BC=AC$ ,

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle QAB} + S_{\triangle QBC} + S_{\triangle QAC}$

所以 $\dfrac{1}{2} AB \cdot (QD+QE+QF) = S_{\triangle ABC}$

$QD+QE+QF= \dfrac {2S_{\triangle ABC}} {AB} = \dfrac {\sqrt{3}} {2} AB$ . 证明完毕.

【证法2】

基本思路：应用全等三角形和矩形的性质。

过点 $Q$ 作直线平行于 $BC$ , 交 $AB,AC$ 于点 $B',C'$ .

过点 $Q$ 作直线平行于 $AC$ , 交 $AB$ 于点 $A'$ .

作 $AD' \perp BC$ , 点 $D'$ 为垂足；作 $B'E' \perp AC$ , 点 $E'$ 为垂足；

记 $AE', B'C'$ 交点为点 $N$ ; 记 $B'E', QA'$ 交点为点 $M$ .

由已知条件可以推出：

$\triangle A'B'Q$ 是正三角形； $\triangle AB'C'$ 也是正三角形；

四边形 $EE'MQ$ 是矩形；四边形 $QDD'N$ 是矩形；

$\triangle FQB' \cong \triangle MB'Q$ ； $\triangle B'E'C' \cong \triangle ANC'$

所以， $QE+QF=B'E'=AN$

$QE+QF+QD=AD'$ .

【证法3】

基本思路：借助三角函数完成证明。

如图所示，作 $B'C' // BC$ ,

过点 $C'$ 作 $C'D' \perp BC$ , 垂足为 $D'$ .

因为 $B'C' //BC$ , 所以 $\angle AB'C' = \angle AC'B' = 60°$ . $\triangle AB'C'$ 是正三角形；

因为 $QE \perp AC, QF \perp AB$ , 所以 $QE=QC' \sin60°$ , $QF=QB' \sin 60°$

$QE+QF=AC' \sin60°$

因为 $QD \perp BC, C'D' \perp BC$ , 所以 $QD=C'D' = C'B' \sin60°$

所以 $QD+QE+QF=AC \sin60° = \dfrac {\sqrt{3}} {2} AC$

【提炼与提高】

在本题的三种证明方法中，以证法一最为简洁优雅。证法一的特色在于：用面积公式把线段和与面积和关联起来，利用面积之间的恒等关系证明线段之和为定值。

该方法具有相当广泛的用途。正弦定理、三角形的内切圆半径，都可以从面积公式推导得出。

【相关问题】

用初中数学破解高考数学题：如何用面积公式实现转化？

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