高等数学上期末卷题选(3)

2018-12-03 本文已影响18人溺于恐

1. $\lim\limits_{n\to \infty}n({1\over n^2+1}+{1\over n^2+2^2}+\cdots+{1\over n^2+n^2})$

解：

$原式=\lim\limits_{n\to \infty}{1\over n}({1\over 1+({1\over n})^2}+{1\over 1+({2\over n})^2}+\cdots+{1\over ({n\over n})^2})$

$=\sum\limits_{i=1}^n{1\over 1+({i\over n})^2}\cdot {1\over n}$

$由定积分的定义知$

$上式=\int_0^1d{x\over 1+x^2}$

$=arctanx|_0^1$

$={\pi\over 4}$

2. $\int {1\over x^2+x+1}dx$

解：

$原式=\int {1\over (x+{1\over 2})^2+{3\over 4}}d(x+{1\over 2})$

$={2\over \sqrt{3}}arctan{2x+1\over \sqrt{3}}+C$

3. $\int_0^2 x\sqrt{2x-x^2}dx$

解：

$原式=\int_0^2 x\sqrt{1-(x-1)^2}dx$

$令x-1=sint,则t=arcsin(x-1)$

$原式=\int_0^{\pi\over 2} (sint+1)cost\cdot cost dt$

$=2\int_0^{\pi\over 2} cos^2tdt$

$=2\cdot {1\over 2}\cdot{\pi\over 2}={\pi\over 2}$

4.在(1,e)内求一点 $x_0$ 使图中阴影部分的面积之和最小

6.png

解：

$阴影部分面积和为$

$S=\int_1^{x_0}\sqrt{lnt}dt+e-x_0-\int_{x_0}^e\sqrt{lnt}dt$

$A'(x_0)=2\sqrt{lnx_0}-1$

$令A'(x_0)=0得驻点x_0=\sqrt[4]{e}$

$驻点唯一,且为极小值点,所以此时阴影部分面积之和最小$

5.已知f(x)是连续函数,证明： $\int_0^\pi xf(sinx)dx={\pi\over 2}\int_0^\pi f(sinx)dx$ 并计算： $\int_0^\pi xsin^3xdx$

解：

$设x=\pi-t,则$

$\int_0^\pi xf(sinx)dx=-\int_\pi^0(\pi -t)f(sin(\pi-t))dt$

$=\int_0^\pi (\pi-t)f(sint)dt$

$=\int_0^\pi (\pi-x)f(sinx)dx$

$=\pi\int_0^\pi f(sinx)dx-\int_0^\pi xf(sinx)dx$

$\therefore \int_0^\pi xf(sinx)dx={\pi\over 2}\int_0^\pi f(sinx)dx$

$\int_0^\pi xsin^3xdx={\pi\over 2}\int_0^\pi sin^3xdx$

$={\pi\over 2}\int_0^\pi (cos^2x-1)dcosx$

$={\pi\over 2}({1\over 3}cos^3x-cosx)|_0^\pi={2\pi\over 3}$

6.设f(x)=xcosx-x

(1)当 $x\to 0$ 时,f(x)是关于x的_____阶无穷小$

(2) $f^{(100)}(x)$ =_____

答：(1)3 (2)xcosx+100sinx

7.设 $\begin{cases}x=t^2-2t\\ y=t^4-4t\end{cases}$ ,求 ${dy\over dx},{d^y\over dx^2}$

解：

${dy\over dx}={dy/dt\over dx/dt}$

$={4t^3-4\over 2t-2}=2(t^2+t+1)$

${d^2y\over dx^2}={d\over dt}({dy\over dx}){1\over dx/dt}$

$={2(2t+1)\over 2t-2}={2t+1\over t-1}$

8.证明：当 $0\lt x\lt {\pi\over 2}$ 时, $4sinx+tanx\gt 4x$

证：

$设f(x)=4sinx+tanx-4x,则$

$f'(x)=4cosx+sec^2x-4$

$当0\lt x\lt {\pi\over 2}时,0\lt cosx\lt 1$

$\therefore cosx\gt cos^2x$

$\therefore f'(x)=4cosx+sec^2x-4\gt 4cos^2x+sec^2x-4$

$又4cos^2x+sec^2x-4=(2cosx-secx)^2\ge 0$

$\therefore f'(x)\gt 0,f(x)单调递增$

$\therefore f(x)\gt f(0)=0$

$即4sinx+tanx\gt 4x$

9. $\int ln(1+x^2)dx$

解：

$原式=xln(1+x^2)-\int {x\cdot 2x\over 1+x^2}dx$

$=xln(1+x^2)-2\int {x^2+1-1\over 1+x^2}dx$

$=xln(1+x^2)-2\int (1-{1\over 1+x^2})dx$

$=xln(1+x^2)-2x+2arctanx+C$

10.求由抛物线 $y=x^2$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 所围成图形的面积A

7.png

解：

$抛物线与圆交点为(-1,1)和(1,1)$

$A=\int_{-1}^1(\sqrt{2-x^2}-x^2)dx$

$=2\int_0^1\sqrt{2-x^2}-{2\over 3}x^3|_0^1$

$设x=\sqrt{2}sint,则dx=\sqrt{2}costdt$

$A=2\int_0^{\pi\over 4} 2cos^2tdt-{2\over 3}$

$=2\int_0^{\pi\over 4} (1+cos2t)dt-{2\over 3}$

$=2(t+{1\over 2}sin2t)|_0^{\pi\over 4}-{2\over 3}={\pi\over 2}+{1\over 3}$

11.设f(x)在[a,b]上连续,证明： $\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$ ,并计算 $I=\int_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}{sin^2x\over x(\pi-2x)dx$

解：

$设x=a+b-t,则dx=-dt$

$x:a\to b,t:b\to a$

$\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(a+b-t)dt$

$=\int_a^bf(a+b-t)dt$

$=\int_a^bf(a+b-x)dx$

$I=\int_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}{sin^2x\over x(\pi-2x)}dx$

$=\int_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}{sin^2({\pi\over 2}-x)\over ({\pi\over 2}-x)(\pi-2({\pi\over 2}-x))}dx$

$=\int_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}{cos^2x\over (\pi-2x)x}dx$

$\therefore I={1\over 2}(\int_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}{sin^2x\over x(\pi-2x)}dx+\int_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}{cos^2x\over (\pi-2x)x}dx)$

$={1\over 2}\int_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}{1\over (\pi-2x)x}dx$

$={1\over 2\pi}\int_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}({1\over x}+{2\over \pi-2x})dx$

$={1\over 2\pi}[lnx-ln(\pi-2x)]|_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}$

$={1\over 2\pi}ln{x\over \pi-2x}|_{\pi\over 6}^{\pi\over 3}={ln2\over \pi}$

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