机器学习（六）Sigmoid函数和Softmax函数

2017-09-20 本文已影响3184人致Great

1 Sigmoid函数

1.1 定义

Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型的函数，也称为S型生长曲线。Sigmoid函数常被用作神经网络的阈值函数，将变量映射到0,1之间。

1.2公式

其对x的导数可以用自身表示:

1.2 python实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def sigmoid(x):
    return 1.0/(1+np.exp(-x))

1.3 函数图像

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def sigmoid(x):
    return 1.0/(1+np.exp(-x))

sigmoid_inputs = np.arange(-10,10)
sigmoid_outputs=sigmoid(sigmoid(sigmoid_inputs))
print("Sigmoid Function Input :: {}".format(sigmoid_inputs))
print("Sigmoid Function Output :: {}".format(sigmoid_outputs))

plt.plot(sigmoid_inputs,sigmoid_outputs)
plt.xlabel("Sigmoid Inputs")
plt.ylabel("Sigmoid Outputs")
plt.show()

2 Softmax函数

2.1 定义

在数学，尤其是概率论和相关领域中，Softmax函数，或称归一化指数函数
，是逻辑函数的一种推广。它能将一个含任意实数的K维的向量z的“压缩”到另一个K维实向量σ(z) 中，使得每一个元素的范围都在(0,1)之间，并且所有元素的和为1。

2.2公式

在多项逻辑回归和线性判别分析中，函数的输入是从K个不同的线性函数得到的结果，而样本向量 x 属于第 j 个分类的概率为：

这可以被视作K个线性函数x→x^Tw₁,...,→x^Tw_KSoftmax函数的复合(x^Twxw)

2.3 python实现

import numpy as np

def softmax(x):
    orig_shape=x.shape
    if len(x.shape)>1:
        #Matrix
        #shift max whithin each row
        constant_shift=np.max(x,axis=1).reshape(1,-1)
        x-=constant_shift
        x=np.exp(x)
        normlize=np.sum(x,axis=1).reshape(1,-1)
        x/=normlize
    else:
        #vector
        constant_shift=np.max(x)
        x-=constant_shift
        x=np.exp(x)
        normlize=np.sum(x)
        x/=normlize
    assert x.shape==orig_shape
    return x

2.4 函数图像

def softmax(x):
    orig_shape=x.shape
    if len(x.shape)>1:
        #Matrix
        #shift max whithin each row
        constant_shift=np.max(x,axis=1).reshape(1,-1)
        x-=constant_shift
        x=np.exp(x)
        normlize=np.sum(x,axis=1).reshape(1,-1)
        x/=normlize
    else:
        #vector
        constant_shift=np.max(x)
        x-=constant_shift
        x=np.exp(x)
        normlize=np.sum(x)
        x/=normlize
    assert x.shape==orig_shape
    return x

softmax_inputs = np.arange(-10,10)
softmax_outputs=softmax(softmax_inputs)
print("Sigmoid Function Input :: {}".format(softmax_inputs))
print("Sigmoid Function Output :: {}".format(softmax_outputs))
# 画图像
plt.plot(softmax_inputs,softmax_outputs)
plt.xlabel("Softmax Inputs")
plt.ylabel("Softmax Outputs")
plt.show()