3D数学介绍

多坐标系

摄像机坐标系是和观察者密切相关的坐标系。摄像机坐标系和屏幕坐标系相似，差别在于摄像机坐标系处于3D空间中而屏幕坐标系在2D平面里。摄像机坐标系能被看做是一种特殊的“物体”坐标系，该“物体”坐标系就定义在摄像机的屏幕可视区域。摄像机坐标系中，摄像机在原点，x轴向右，z轴向前（朝向屏幕内或摄像机方向），y轴向上（不是世界的上方而是摄像机本身的上方）。

在机器人的物体坐标系中，y轴从脚指向头而x轴指向它的左边。绕物体坐标系的原点进行旋转。知道物体坐标系的轴与世界坐标系平行就得到了惯性坐标系。最后，把惯性坐标系的原点平移到世界坐标系的原点就完成了惯性坐标系到世界坐标系的转换。 

世界坐标系是一个特殊的坐标系，它建立了描述其他坐标系所需要的参考系。也就是说，可以用世界坐标系去描述其他所有坐标系或者物体的位置。所以有很多人定义世界坐标系是“我们所关心的最大坐标系”，通过这个坐标系可以去描述和刻画所有想刻画的实体。世界坐标系又称全局坐标系或者宇宙坐标系。

物体坐标系与特定的物体关联，每个物体都有自己特定的坐标系。不同物体之间的坐标系相互独立，可以相同，可以不同，没有任何联系。同时，物体坐标系与物体绑定，绑定的意思就是物体发生移动或者旋转，物体坐标系发生相同的平移或者旋转，物体坐标系和物体之间运动同步，相互绑定。

惯性坐标系是为了简化世界坐标系到惯性坐标系的转化而产生的。惯性坐标系的原点与物体坐标系的原点重合，惯性坐标系的轴平行于世界坐标系的轴。引入了惯性坐标系之后，物体坐标系转换到惯性坐标系只需旋转，从惯性坐标系转换到世界坐标系只需平移。

向量的几何意义

向量：有方向有大小

标量：无方向有大小

⚠️：标量与向量相乘时，不需要写乘号；标量与向量的惩罚和出发优先级高于加法和减法

标量不能除以向量，且向量不能除以另一个向量；负响量能被认为是乘法的特殊情况，乘以标量-1；

⚠️：向量不能与标量或维度不同的的向量相加减；和标量加法一样，向量加法满足交换律

几何意义：向量乘以标量k的效果是以因子（k）缩放向量的长度。例如，为了使得向量的长度加倍，使得向量乘以2.如果k<0，则向量的方向就会被倒转。

向量a和b相加的几何解释为：平移向量，使向量a的头连接向量b的尾。接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量的加法的“三角形法则”，向量的减法与之类似。

点乘几何意义

向量的叉乘几何意义

矩阵乘法注意事项

1、在乘法有意义的情况下，任意矩阵M乘以方阵S，不管从哪边乘，都得到与原矩阵大小相同的矩阵。如果S是单位矩阵，那么MS = SM = M

2、矩阵乘法不满足交换律，即AB ！=BA；

3、矩阵乘法满足结合律，即：（AB)C = A(BC),假定ABC的维数使得乘法有意义，注意如果(AB)C有意义，那么A(BC)肯定有意义。

4、矩阵乘法也满足与标量或向量的结合律，即：(kA)B = k(AB)

5、矩阵积的转置相当于先转置矩阵然后以相反的顺序乘法，即：

行向量左乘矩阵时，结果是行向量；列向量右乘矩阵时，结果是列向量；

行向量右乘矩阵时，结果是无意义；列向量左乘矩阵时，结果是无意义；

矩阵与向量相乘 注意事项： 

1.结果向量中的每个元素都是原向量与矩阵中单独⾏或列的点积； 

2.矩阵⼀向量乘法满⾜对向量加法的分配律，对于向量v,w 和 矩阵M 有，(v + w)M = vM + wM; 

矩阵的几何意义

1.⽅阵的⾏能被解释为坐标系的基向量； 

2.为了将向量从原坐标系变换到新坐标系，⽤它乘以⼀个矩阵。 

3.从原坐标系到这些基向量定义的新坐标系的变化是⼀种线性变换。线性变换保持直线和平⾏线。但⻆度、⻓度 ⾯积或体积可能会改变。 

4.零向量乘以任何矩阵仍然得到零向量。因此，⽅阵所代表的线性变换的原点和原坐标系原点⼀致。变换不包含 原点。 

5.可以通过想象变换后的坐标系的基向量来想象矩阵。这些基向量在2D中构成L形。在3D构成“三⻆架”型。