必须学会的数学工具（一）——概率基础与凯利判据
我曾经问过这样一个问题，回答这个问题的是中国最受欢迎的科普作家——卓克。
问：“对科学进步，贡献最大的学科是哪个？”
答：“毫无疑问，是数学，它也是物理学的基础。”
我不是要你做数学家。当然，数学家是我最尊重的一个群体，也许只有他们，才可以不考虑数学具体有什么用处。而你需要做的，是如何将这些数学工具致用。
在数十年的生命中，若掌握些有用的数学工具，为自己的决定作参考，将远远甩开世界上其他90%的人。
在这个世界上，大多数人，只要学好小学数学，一辈子也够用了。
大多数人，是平凡的人。精英总是少数。
一些“数学恐惧症患者”，看到数字，就是一阵头晕目眩，不知所云。而数学的爱好者的眼中，一个公式中的每一个数学符号，哪里是重点，当一个量发生变化后，其他位置会有那些影响。它的意义是什么？可以变化出那些形式？都在他的脑海浮现。
我是一个功利的人，不要求你系统性学习数学，只想教几个适合在生活中应用的公式，以最简单粗暴的方式，教你应用。
小心概率的陷阱
首先，做一个抛硬币的游戏。
众所周知，抛硬币，得出正反两边的几率是相同的。均为50%。正面（head）、反面（tail）
当第一次抛出反面时，第二次再抛出反面的概率是多少？
每次抛硬币都是一次独立事件，所以第二次抛出反面概率依然是50%。是不是有点反直觉？
这是一个最基本的概率问题。掌握好初中的概率知识，一定对此有了解。但有不少“聪明人”在进行赌博游戏时，自欺欺人的认为，“我已经输了这么多，从概率上讲，我该时来运转了。”
我们将问题换一下。抛两次硬币，连续两次抛出反面（TT）的概率是多少？
答案是25%。
50%*50%=25%（1/4）
那么连续三次抛出反面（TTT）的概率呢？
25%*50%=12.5%（1/8）
如果前两次，抛出的是两次反面，第三次抛出正面。那么抛出“反反正”（TTH）的概率呢？
依然是12.5%。（1/8）
也就是说，虽然“TT”已经出现，下次结果加上之前的结果是“TTT”或“TTH”，概率大小相同。
连续抛出反面N次
概率
2
25%
3
12.5%
4
6.25%
5
3.125%
6
1.563%
7
0.781%
8
0.391%
9
0.195%
10
0.098%
11
0.049%
12
0.024%
13
0.012%
上表贴出了，连续2~13次抛出硬币为反面的概率。也可以说是在50%概率的赌局上，你连输2~13把的可能性。
连输13把的可能性是万分之一，千万不要以为万分之一就肯定遇不到。概率再小，也熬不过次数多。持续下去，迟早会撞上。
如果你算出，输钱的概率只有万分之一 ，赢了直接翻番。就算是这样千载难逢的机会，你也不应该压上全部赌注。
有一个著名的凯利判据。它的公式是：=预期收益/（收益*损失）
F=P+(P-1)*A/B
或F=[p(a+b)-a]/b
其中：F=最优下注比
P=获胜概率
A=投资
B=收益
数学证明，依据凯利判据下注，在长期中能获得最高的复合增长率，且永远都不会输掉本钱。
要掌握好它，首先要有足够的耐心，足够的资金，还得了解胜率变化，并按照凯利判据调整下注额。
我们先使用这个公式进行实战训练。
同样是一个抛硬币的游戏，你和人赌正反面，你押正面，押对翻倍，押错赔光，由你抛硬币。假设你学会了一种特殊的手法，它可以使你抛到正面的成功率增加2%。游戏可以连续玩多场。每次最佳下注例是多少？
带入凯利公式：0.52+（0.52-1）*1/1
F=0.04（4%）
每次赌局，最佳下注比例是4%.
也就是说，当你有100元时，最多押4块钱。
是不是觉得有点少？如果你这样觉得，请继续看下去。
假如，你有一次机会，使你抛到正面的概率增加到99%，你会压注多少？
0.99+（0.99-1）*1/1
F=0.98（98%）
看到了吗？就算你有99%的成功率，最佳押注比仅仅是98%。世界上又有多少人将99%当成100%看的？要是有人说，这事情99%能让你资产翻一番，又有多少人会支起十多倍的杠杆
来捞一笔。
百分之一的失败率很小吗？请看图1
连续抛6次硬币，只出现反面的概率就接近1%了。
我特地花时间，抛了200次硬币，连续6次得出相同的面有2次。连续七次有2次，连续八次有次1次，连续九次有1次。（千分之二）
千分之二的概率的事件，我仅仅200次就遇到了，有点运气因素，但这便是我们需要警惕的地方。不要以为99%能成就可以all in。 甚至支起杠杠借钱all in。
高明的赌徒重来不会压上全部，筹码不空，至少可以不下赌桌，一旦下了赌桌，便再无机会东山再起。
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假如有一场掷骰子的赌局，一次性掷出三个骰子，若掷出三个六点。便一赔十，没有掷出赔光。值不值得下注？
每个骰子出现任意点数的概率都是1/6，三个骰子组合出的所有情况是6*6*6=216。要投出三个6点，也就是18点。在这216种情况中。只有一种情况与之符合。概率为1/216（0.00462）
将数据放入公式中：0.00462+（0.00462-1）*1/10
F=-0.09907
得出的竟然是负数。
利用这个公式，算出的值若是负数。一个合格的投资者，是一分钱都不会投在里面的。投资是一件严肃的事情，这种长期看，连保本都是奢望的事情，不叫投资。只有故事中，地主家的傻儿子才会做这种事情。
其实，这些公式与数字中的道理，人尽皆知。
凯利判据的道理不就是：“留得青山在，不怕没柴烧”吗？
道理我们都懂，但是将道理与思想变成盈利工具，才是我们需要学习的。
那些听了这么多道理，还是过不好这一生的人。缺少的便是这个吧。
