（3.10）James Stewart Calculus 5th

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Related Rates 变化率相关

这节，大体就是 变化率相关的题目
对应的分析 和 解题过程

题目1

一个球，体积增长速度为 100 cm^3/s， 求 这个球直径在50cm的时候，对应半径的增长变化率是多少？
分析
我们知道：

求：

也就是把对应的 dV/dt 想办法转化成 dr/dt

球的体积为：

对应单位时间，体积的变化率 转化为 半径和时间的变化率

这个时候，我们就知道
dV/dt 和 dr/dt 之间的关系了
这个时候，我们是求 dr/dt
所以，

当 体积增长速度为 100 cm^3/s，直径为50cm，也就是 半径为25cm的时候

题目2

一个10ft长的梯子靠在数值的墙上，问在墙底的那部分，速度是 1ft/s，墙底部分长度为 6ft 的时候，顶部梯子对应的速度是多少？

也就是 知道下面长度为 6 ft， 并且 对应的速度为 1ft/s的时候
求 上端的速度。
具体分析，见下面，也可以见图：
已知：
dx/dt = 1
x = 6 ft
求：
dy/dt = ？

大体可以知道， 滑落的临界点，梯子长10ft， y为 8ft， x为 6ft
整个过程中， x^2 + y^2 = 10^2

即：

链式法则，求导得：

化简后，得：

我们知道，临界点， x=6， y=8， 对应的 x方向速度为 1ft/s
可以得到：

就是对应的结果。

例子3

大体为， 半径为2，高度为4的椎体。一直以 2m^3/min的速度灌入水，求高度为3m的时候，对应涨高的速度为多少？

分析：
已知r=2， h=4， dV/dt = 2，求dh/dt ？
也就是把 dV/dt 转化成 dh/dt 。

简单可以知道对应的体积公示：

还有 半径和高的比例：

因为剩下都是 体积V 和 高度h之间的关系，
于是将r转换为h

都对t求微分，可以得到：

化简后，dh/dt为：

当h=3的时候， 我们看得到结果：