线性代数复习

线性空间

• 线性空间的定义一定要有向量和数域，因为有数域才能实现8条法则中的向量数乘。

  
  线性空间&数域&8条法则

线性空间中的向量是抽象的，并不仅仅是能看到的行、列向量，某个定义域中的所有函数也可以看作向量，可以构成线性空间。

线性变换

线性变换&映射

线性相关&无关

• N维空间能找到N个向量作为基。

  
  线性相关&无关

• 研究一个线性空间中的变换L，只需要研究L作用在每一个基上的结果。

  
  L作用一个基上
  L作用在所有基上&变换矩阵

可逆矩阵&坐标变换

换基，坐标变更

• 用线性变换表示坐标变换

• 将基2用基1展开，

  
  一组基表示另一组基
  图片.png
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矩阵是否能表示坐标变换，得看它作用在一个基上后生成的新向量是否是另一组基，即“矩阵可逆<=>矩阵的秩不为0<=>这组向量线性无关”。

因为线性变换可以是单向的，有去无回，比如三维变成二维，但坐标变换必须是可逆的。

同一个向量在不同基底上的表示不同，不代表这个向量变了，向量没有变，只是表现出来的数值变化了，或者说坐标值变化了。那么矩阵表示坐标变换时，实际上表示的是向量在不同基底上坐标值之间的变换关系。

线性变换&坐标变换

相似矩阵

两个线性变换的相互表示
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从公式看，相似矩阵就是一个矩阵可以用另一个矩阵两边乘以某个矩阵以及其逆矩阵来表示。从推到过程可以认为，相似矩阵是在一个线性空间上不同基上的线性变换矩阵。

相似矩阵实际是相同的线性变换，仅仅基不同

p9.5

相似矩阵图解

线代解微分方程

傅里叶表示微分方程

• n次导函数的傅里叶变换就是（-ik)^n乘以原函数傅里叶变换。可将n次求导转换为n次多项式。

  
  傅里叶转换求导为多项式