统计学基础3-条件公式与贝叶斯公式

2022-04-27 本文已影响0人只是甲

一. 条件概率

1.1 条件概率计算

已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率成为条件概率,即为P(B|A)

如何计算条件概率P(B|A) ??

甲乙两人各抛一颗骰子，点数大的赢。如果甲先抛骰子，得到点数4，那么乙获胜的概率是多少?

记A={甲得到点数为4}, B={乙获胜}

P(A) = 1/6; P(AB)=(1+1)/6*6=1/18;P(B)=2/6=1/3

看一下P(B|A)与P(A)、P(B)的关系: P(B|A)=P(AB)/P(A)

image.png

其实关系表示如下更好理解:
P(AB)=P(A)*P(B|A)
AB 两个事件同时发生的为P(AB)
A 事件发生的概率为P(A)
A事件发生且B事件也发生的概率为P(B)

从上面公式可以推断出:
P(B|A)=P(AB)/P(A)

1.2 条件概率----概率

条件概率说到底也是概率的一种，所以也符合概率定义的三个条件:

非负性: P(B|A) >= 0;
规范性: 对于必然事件S，有P(S|A)=1
可列可加性: 对于两两互不相容的事件B1，B2，B3......Bn,即Bi * Bj = Ø（代表空集）, i != j,i,j=1,2，......,P(B1 ∪ B2 ∪ ......|A) = P(B1|A) + P(B2|A) + ......

对于概率的一些公式，条件概率也同样适用

如P(A ∪ B|C) = P(A|C) + P(B|C) - P(AB|C)

1.2.1 例1

某公司年终决定举行抽奖活动，从全部员工中选取一名特等奖。公司人事架构如下:

部门	男	女	合计
行政部	10	10	20
销售部	20	10	30
技术部	10	4	14
客户部	20	16	36
合计	60	40	100

若被抽中的人是销售部的，问该员工是女生的概率?
若被抽中的人是女生的，问该员工是销售部的概率是?

A={被抽中的是销售部}， B={被抽中的是女生}

P(B|A) = P(AB)/P(A)=(10/100)/(20/100) = 1/3
P(A|B) = P(AB)/P(B)=(10/100)/(40/100) = 1/4

1.2.1 例2：汽车与山羊

美国的一个电视游戏节目 Let 's Make a Deal上有一个游戏，规则如下:参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

image.png

面对这个问题，有两种观点:

换与不换都一样，因为当一道藏有山羊的们被打开时，剩下的两道门中，汽车在任一道们的概率都是1/2，所以换与不换获得汽车的概率都一样。
换比不换好。有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)。
2.1) 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
2.2) 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
2.3) 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊中的任何一头。转换将失败。
在头两种情况，参赛者可以通过转换选择赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原有选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过转换选择而赢得的，所以通过转换而赢的概率是2/3.

你支持哪种看法?

用数据说话:
将3个门记为1,2,3号，假设参赛者先选择的是1号门。记A={1号门是汽车}；B={2号门是汽车}；C={3号门是汽车}，则P(A)=P(B)=P(C)=1/3。原来的选择有1/3的机会获得汽车。

假设主持人开启了2号门，这个事件记为D。那么参赛者坚持选择或是改变选择而赢得汽车的概率又是多少?

从图中的第一列看出，当参赛者选择1号门，2号门被打开的概率P(D)=1.5/3;汽车在1号门并且主持人打开2号门的概率P(AD)=0.5/3.

坚持选择: P(A|D) = P(AD)/P(D)=1/3
改变选择: P(CD) = 1/3 P(C|D)=P(CD)/P(D)=2/3

所以，改变选择将有更大的几率获得汽车。

那么下面这个图怎么解释呢?
我们看第一个行的格子，假设车在1号门。
如果选择了1号门，那么主持人可能打开2号门或3号门，所以第一个格子里面有2也有3。
如果选择了2号门，那么主持人会打开3号门。
如果选择了3号门，那么主持人会打开2号门。
第二行的依次类推。

所以P(D)=1.5/3
P(AD)=0.5/3

image.png

如下图:改变主意有2/3的概率可以得到汽车。

image.png

也可以通过Python来实现:

#检测若输入的模拟次数不是整数，提示重新输入
while True:
     try:
         total = input("请输入模拟次数:")
         total=int(total)
         break   #若输入的正确，则退出，错误执行except下面代码
     except:
         print('您输入的内容不规范，请重新输入：')
#根据你输入的保存在total中次数，重复进行大量测试，统计换门与不换门赢得汽车的概率
a=b=c=d=e=f=0.00
x=0
from random import randint
list=["sheep1","sheep2","car"]
tuple=("yes","no")
while x!=total:
   t=randint(0,2)
   i=randint(0,1)
   if list[t]=="car":
        if tuple[i]=="yes":
         a+=1
        else:
         b+=1
   elif list[t]=="sheep1":
        if tuple[i]=="yes":
           c+=1
        else:
           d+=1
   elif list[t]=="sheep2":
        if tuple[i]=="yes":
           e+=1
        else:
           f+=1
   x+=1
print("总次数为%d"%(total))
print("换%d" %(a+c+e),"不换%d" %(b+d+f))
print("不换赢的概率为%.2f%%"%(b/(c+b+e)*100))
print("换赢的概率为%.2f%%"%((c+e)/(c+b+e)*100))

image.png

1.3 乘法定律

由条件概率的定义，很容易得到P(AB) = P(B|A)P(A),其中P(A)>0
这条公式很容易推广到P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

image.png

例:
某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。

image.png

第一次不通过的概率是 0.4
第二次连续不通过的概率是 0.4（1 - 0.8） = 0.08
第三次连续不通过的概率是 0.4（1 - 0.8）* (1 - 0.9) = 0.008

只要减去连续三次不通过的即可，1 - 0.008 = 0.992.

不过题目的解法才科学。

二. 贝叶斯公式

2.1 全概率公式

小明是今年的应届毕业生，他现受到3家公司的面试通知，但不巧的是，面试时间基本一样，并且不能更改面试时间。小明只能也必须选择其中一家公司进行面试。如果小明有0.7的概率选择A公司，有0.5的概率面试成功；0.2的概率选择B公司，0.7的概率面试成功；0.1的概率选择C公司，0.3的概率面试成功。那么请算一算，小明面试成功的概率是多少?

A = {面试成功}
B1 = {到A公司面试}
B2 = {到B公司面试}
B3 = {到C公司面试}

根据题意：
P(B1)=0.7,P(A|B1)=0.5;
P(B2)=0.7,P(A|B2)=0.7;
P(B3)=0.7,P(A|B3)=0.3;

{面试成功} = {到A公司面试并成功} ∪ {到B公司面试并成功} ∪ {到C公司面试并成功}

即 A= AB1 ∪ AB2 ∪ AB3，又 B1，B2，B3为互斥事件，故
P(A)
= P(AB1) + P(AB2) + P(AB3)
= P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3)
= 0.50.7 + 0.70.2 + 0.3*0.1
= 0.52

上面就是全概率公式。