一些故事

波利亚在《怎样解题》中举的例子，说明动物解决问题的能力在进化过程中是可以实现遗传的。

实际上，越是高等动物大脑中用于处理特定问题的硬编码，神经元回路，就越是多和复杂。

人类进化的过程实际上就包括解决问题的能力的进化过程。每个人都具有解决问题的能力，世界上不存在没有解决问题能力的人，差别的是在能力程度上不同。
仔细分析，人类解决问题是一步步进行归约的。如果一开始面对的问题很棘手，就会尝试将这个问题转化为一个新的，已知的，并容易解决的问题。实现这个转变的最主要的方式是联想。

联想可以将手上的问题与这个类似问题联系起来，并从后者中吸取能够利用的方法，联想也能够将与问题有关的定理和性质，从大脑的知识系统中提取出来，基本上，如果一个联想能够得到某个性质，并且这个性质能够将问题往上归约一层，或者讲条件望下推导一层，这个联想就是有用的。

一段历史

古往今来，人类在寻求找到解决问题的通用的一般性法则上进行持续不断的努力。中华民族善于总结自己的经验和教训，欧洲的数学家和哲学家倾向于人类心智的探索。
古希腊的几何学家pappus数学汇编：

首先我们把需要求解的问题本身当成条件，从它推导出结论，再从这个结论推导出更多的结论，直到某一个点上，我们发现已经出现了真正已知的条件，这个过程称为分析，有了这条路径，我们便可以从已知条件出发，一路推导到问题的解。

一些方法

波利亚在《how to solve it》中总结了一些实用的启发性思考方法：

1.时刻不忘未知量

也就是说时刻不要忘记，要解决什么，问题是什么。

莱布尼兹，曾经将人的解题思考过程比喻成晃筛子，把脑袋里面的东西都给抖落出来，然后正在思索中一定会抓住一切细微的与问题有关的东西。

要能准确的抓住抖落出来的灵感，就必须让注意力时刻关注在问题上。

2.用特例启发思考

一个泛化的问题往往有一种不确定性，比如元素的个数不确定，某个变量不确定等等，这种不确定性会成为思维的障碍，通过考虑一个合适的特例，我们不仅使得问题的条件确定下来，从而便于通过试错这样的手法，去住看问题的内部结构，同时很有可能我们的特例中实质上隐藏了一般性问题的本质结构，于是我们便能够通过对特例的考察，寻找一般问题的解。

3.反过来推导

反向解题是一种很重要的思想方法，叫归约。

人类思维本质上属于顺着推导，从一组条件出发，运用必然的逻辑关系，得出推论，然而，如果要求的未知量与质量看上去相隔甚远，这个时候顺腿实际上就是运用另一个启发式方法是错了，虽然是错，是最常用也是最有效的启发法，然而试错却并不是最高效的，对于许多题目而言，其要求的结论本身就隐藏的推论，不管这个推论是充分还是必要的，都很可能对解题有帮助，如果从结论能够推导出一个重要推论，那么实际上我们就将问题进行了一次双向规约，如果原问题不容易解决，那么规约后的问题也许就容易解决了，通过一层层规约，让逻辑的枝蔓从结论上一节节的生长，我们往往会发现离已知量越来越近。

反向推导法最大的价值是他充分利用了题目中一个最不易被察觉到的信息，结论。

结论往往蕴含着丰富的条件，譬如对什么样的解才是满足题意的解的约束，一般来说，借助结论中蕴含的知识，我们便可以更为智能地搜索解空间。

笛卡尔非常推崇倒推法。他认为，解方程组设未知数就是一种倒退法。提出，可以把一切问题归结为求解代数方程组：设出未知数，列出方程，最后解这个方程组。

4.试错

试错法是应用最广泛的，启发方法。它适用的最佳环境是问题的状态空间是有限的，那么就可以通过穷举所有可能来找到这个关键的性质。

5.调整题目的条件，包括删除，增加修改

删除增加，修改条件能够帮助我们，迅速发现条件和结论之间的关系。这个最典型的例子就是，几何解题当中的辅助线。

6.求解一个类似的题目

善于学习的人会将题目进行归类。类似的题目具有类似的结构，类似的性质，类似的解题方法。类似的题目做一道，要有举一反三的能力。但是归类是一种很重要的能力，需要对概念和概念之间的关系，有非常清晰的认识。能够敏锐地识别，表面类似而抽象结构不同，或者表面不同而实质相同的问题。如果归类错误，必然导致解题失败。

7.列出所有可能跟问题有关的定理或性质

将与题目有关的，知识点全部列出来，有助于我们进行思考。

8.考察反面，考察其他所有情况

要灵活对待，对不同的问题，采用不同的方法，比如反证法。

9.将问题泛化，并求解这个泛化后的问题

这种方法也是适合，特定的环境。有些问题泛化之后更容易解决，比如解决一类问题比解决这类问题里面某个特定的问题还要容易。波利亚称之为发明者悖论。
推荐，《如何求解问题，现代启发式方法》

10.意识孵化法

其核心思想就是把问题吃透，放在脑子里，然后等着下意识把它解出来，比如阿基米德在洗澡时对浮力的恍然大悟。

11.烫手山芋法

这是最后一招无奈之举，就是解决不了，求助于别人或者网络。

总而言之，充分挖掘题目中蕴含的知识是解题的最关键步骤。本质上所有启发式方法，某种意义上都是为此服务的。这些知识有些时候以联想的方式被挖掘出来，此时启发式方法充当的便是辅助联想的手段，有时候则以演绎和归纳的方法被挖掘出来，此时启发式方法则充当辅助探索工具。

一点思考

1.联想的法则

我们在解题中经常会发现，我们不会解，不是因为我们缺乏相关知识，而是我们想不到这些知识。我们常常会问，为什么我想不到，而你能想到，你是怎么想到的。实际上这个思维过程是无意识的。
知识存在于我们脑子中，能帮助我们解决问题。但是，它也是一把双刃剑，一方面提供给我们解决问题的捷径，另一方面，也成为思维的桎梏。刚才的问题为什么我想不到，就是因为知识的思维定势在作怪。
那么打破思维定势的方法是什么呢？钥匙就是抽象。

在吸收知识的时候进行抽象，同时在面对需要用到知识的新问题时，也要对问题进行抽象。

那么我们再深入了解一下什么是抽象，怎么抽象？抽象就是抽取事物的属性，从各个维度上，认知事物的属性。
除了抽象之外，我们还可以借助的工具是修改事物的属性，这样等同于获得了，认识到了新的属性。
使用这种方法的例子是砖头有什么用？可以从砖头的属性，以及修改后新增的属性进行考虑。

2.知识。

还是回到刚才那个问题为什么我想不到这种解题方法？除了刚才提到的思维方法之外，还是对知识的理解和熟练运用不够导致。

一道几何题为什么欧几里得，能够做出来我们不能，是因为欧几里得比我们所有人都更了解几何图形有哪些性质，借助一个性质，它很容易就能抵达问题的彼岸，反之，对于不知道某个性质的我们倒过来试图发现需要这样的性质，有时几乎是不可能的。

3.好题目，坏题目

好题目应该侧重测试一个人的思维习惯，思维能力（联想能力，类比能力，抽象能力演绎能力，归纳能力，观察能力，发散能力），而不是测试掌握的知识。也就是说好题目不测试被测者未知的知识，但可以测试可由已知条件推导的知识。

4.一个好习惯

思考问题最容易犯的错误是顾此失彼。想到一种方法，一种可能而忽略了另一种方法，另一种可能。还有可能掉落到思维陷阱中而不能自拔。或者过于纠缠细节，而忽略了主要目标。
解决这样问题的主要办法就是将思考过程的重要环节框架清晰地写在纸上，称为看得见的思考。
写作能极大地丰富和清晰思考的内容，写的越多，思考问题就越周全。
你在思考时工作记忆的缓存处理能力是有限的。

借助一支笔将思考的东西写下来，实际上就是扩充了我们的工作，激增了思维的缓存。
写到纸上，就减轻了工作记忆的负担，可以转移注意力，去集中思考某个子问题；同时，我们又可以随时回过头来重新将以前想过的结论装入记忆内存，完全不用费心去阻止他们对我们的工作记忆遗忘。
将思考的过程写到纸上能够激起潜在的更多的联想。

思考过程和写作表现形式是有区别的，前者缺乏后者所具有的严格详细和符号表现形式，而后者却可以作为存储的知识进行回忆复习。
写作的过程也可以检查思维过程的逻辑，可以随时审视自己的思维定势，包括想当然假设。
越是复杂的问题就越需要足够的推导步骤思维链条。写作可以审视这个链条，并且方便在走不下去的时候发现新的可能，产生新的链条。

通过将思维过程写下来，我们就能够在解题完毕之后，完整地回顾自己的整个思维过程，并从中再次体悟那些关键的想法背后所发生的心理活动过程，总结思考中的重要的一般原则，分析思维薄弱的环节，等等。

5.练习练习

练习可以将思维过程变成习惯

本质上练习并不产生新能力，然而练习最重要的一个作用就是将外显记忆转化为内隐记忆，用大白话来说，就是将平时需要用脑子去想，和参与的东西转化为内在的习惯。
骑自行车开车都会最终形成习惯。
对于解题中的思维方法来说，不断练习这些思维方法，就能做到无意识间，就能运用自如，大大降低了一手负担和加快解题速度。

通过练习可以找到，更好提高效率的练习方法
解题需要推理和联想，而联想尤为重要。为了方便联想，我们在吸收知识的时候需要进行抽象加工，还要将学到的知识与既有的知识框架整合，建立最多的思维连接点（钩子）。但是人类的思维有着各种各样的坏习惯，比如范畴陷阱，根据表面相似性进行类比，以及各种各样的思维捷径。所以我们要通过意识来监督思维。

通过不断反省思维本身，实施纠正不正确的思考方式，我们就能够对其进行淬炼，最终养成良好的思维习惯。

如果只是通过大量地做题被动地练习，虽然最终也能熟能生巧，但必定效率不高。而且世上好多事情，涉及复杂的思维活动，只是通过被动的练习，想要达到无他唯手熟尔状态，几乎是不可能的。
练习还可以做到增加领域知识
高考到最后复习阶段，好多人都有这样的体会。拿到一道题，脑子里就立即反映出解法。有时候快到自己，都不能意识到背后的逻辑。实际上这时候解题过程运用的更多是联想和类比而非演绎和归纳。

这是因为既有的知识起到了极大的作用，通过对题目中几个关键元素和结构的感知，大脑中的相关知识迅速被自动提取出来。

但是对于不熟悉的和不知道的知识点，就需要通过启发设计的各种方法来辅助联想和探索了。联想分为被动联想和策略性联想。对于真正新颖的题目，需要的是策略性联想，考查的也就是一个人的思维能力和习惯了。

6.启发方法的局限性

知识分为硬知识hard knowledge和软知识soft knowledge。硬知识就是，知识概念，知道了它就存在脑子里。软知识是指知识之间的联系，能够通过联想将知识根据它们之间的关系形成体系。

所谓不能活学活用，某些时候就是这种情况，即书本上提供什么样的知识联系，脑子里记住了什么，有没有适合更广泛地，去探索知识之间的本质联系（总结的作用）。

启发式方法，在硬知识和软知识是两个层面上起作用
辅助联想软知识。

大量的启发式方法实际上的作用，就是辅助联想通过对题目中的线索的发掘，激起大脑中已是相关知识的浮现。在这个意义上，相对于那些能够直接联想到某个性质的人，那些不知道，但可以通过启发式思维联想到的，启发式思维就提供了一种曲径通幽的策略性联想。

那么为什么采用启发式方法，能实现联想呢？因为启发式方法相当于带入了一种新的神经调控回路，增加了思维侧重事物属性维度的可能。

越是一般性的启发式方法，就越是对广泛的问题有帮助，比如分类讨论，分治，写下思维过程，分解各个环节，考察思维路径中有无其他可能性。

辅助探索出硬知识。

倒推法是一种启发式思考方法，他将你的注意力集中到问题的结论中蕴含的知识上，一旦你开始关注，可能从结论中演绎出来的知识就可能得到硬知识，硬知识并不是早先就存在于你的脑子里，但是可以通过演绎获得。

启发式方法也有局限性。
不是所有事物之间的关系，都可以通过启发得来。比如布烂和干草堆重要之间的关系，如果没人指出，这个布是指降落伞的布的话。我们解题，实际上类似于寻找布烂和干草堆重要之间的关系，我们经过长期苦思冥想，就是找不到他们之间的关系，但是如果这个问题一直存在我们的工作思维中，我们就可以在特定的场合，获得特定的线索，从而恍然大悟。

我们都知道带着一个问题使其在大脑中处于兴奋状态，去寻找答案，更可能找到，即便不是有意去寻找，只要问题还在脑子里，任何周围的，有可能与他相关的线索都不会被大脑漏掉，因为问题和周围的其他线索同时的兴奋，增大了关联的可能性，如果问题早就被从大脑，意识或潜意识中撤下，即便周围出现提示也不会被捕捉到。

许多硬知识也不能被启发探索出来。

其方式方法，并不能使我们的探索，精准地命中目标，而只能划定一个大致的范围。
启发式方法的局限性并不能否认在大量场合的巨大帮助，很多时候单靠启发式方法就能带来突破，而且一旦知识性的东西掌握的是一样多的，能否运用更有效的思维方法，就决定了能力的高下。

7.总结

做题的目标，不在于把这道题解出来，更在于反思解题过程中的一般性的，跨问题的思维法则。反思的过程就是从中抽取一般性的规律，运用到更多的题目上。
一般性的思维法则主要作用在辅助联想，辅助演绎归纳。它更适合解题初期或者说简单的题目。而启发式方法更适合面对难题卡壳时的探索。其中一些特殊性的思维方法，需要通过不断练习，进行抽象总结。