最开始学习递归，经典算法就是斐波那契

image.png

你是否留意过它的算法复杂度如何

复杂度分析

在这里我们忘掉意识里已有的复杂度观念，从最基础代码分析

我们把 代码执行的行数 作为时间复杂度

fibonacci(3)

• fibonacci(1) 占一行代码
• fibonacci(2) 占一行代码
• fibonacci(1) 调用 return 1，占一行代码
• fibonacci(2) 调用 return 1，占一行代码

因此 fibonacci(3) 总共执行了4行代码，复杂度就是具体的4次

可以看出，重要不是 fibonacci(1) 或 fibonacci(2)，暂时也不考虑具体中间递归调度过程

只看最直接的调度，执行两行代码，这有助于后面的分析

以fibonacci(5)计算为例，我们把整个过程平摊开来

image.png

• 最终 return 1的代码执行是 5次，也就是 图中二叉树结构的叶子结点个数，正好是fibonacci(5)的结果
• 非叶子节点 个数为 5 - 1，比叶子结点个数少1个
• 除了叶子节点，每个节点执行的代码行数为两行

fibonacci(5) 总共执行的代码行数 = 5个叶子结点 + 4个非叶子结点 * 2

• 5个叶子节点 return 1, 正好也是 fibonacci(5)结果
• 4个非叶子结点 * 2，是因为每个非叶子结点直接执行两行代码，正如前面分析的那样

整理之后 fibonacci(5) 总共执行的代码行数 = fibonacci(5) + (fibonacci(5) - 1) * 2

最终的到 fibonacci函数复杂度:

F(n) = 3 * fibonacci(n) - 2

如果 n == 5， 最终执行了13行代码，也就是复杂度 13次

这样不会觉得有什么问题

如果 n = 50, 数据太大，整型溢出，换n = 30, 复杂度 832040 * 3 - 2，2 * 10^6, 这是一个很高的复杂度了

简化fibonacci执行次数

fibonacci 递归，期间经历很多重复的递归计算，如果我们把一些中间过程缓存起来，就能省去很多不必要的计算

image.png

统计代码执行行数： 3 + (n - 2 + 1)[for] + n - 2 = 2n

按之前的n = 30, 与简化前的版本比较 就是 60 与 2 * 10^6 差别，复杂度差出5个数量级

已经有点动态规划的思想在这个简化版本里了

但存在一个问题，复杂度降低了，却开辟了很多内存，

数据特别大超出平时脑子里意识的时候，虽然时间复杂度比较可观，但是需要庞大的内存开销作为代价，甚至可能算法都执行不起来

减少内存空间开辟

简化的版本，用到了 n+1 个整型内存空间，主要的执行部分逻辑，其实只涉及两个需要的变量，可以省去额外的内存开销

image.png

稍微对比下 修正后的简化版本，与初始的递归版本

就是 n 与 10^6的差别

image.png

• n = 1代表 第一个索引，索引从1开始
• 矩阵的平方 就是 矩阵与自己相乘
• 矩阵的立方 可以换为 矩阵 * 矩阵的平方
• 矩阵的乘法
  • 矩阵用大写字母表示
  • Rij 表示 第i行第j列上的元素
  • Rij = Ai0 * B0j + Ai1 * B1j, 也就是i行j列位置的元素 = A矩阵的i行 与 B矩阵的j列上的每个元素相乘之后 再相加一起 得到的结果

算法也许是个很枯燥的过程，但如果善于运用工具，比如fibonacci利用矩阵，就很好的体现了代码的执行过程 矩阵相乘包含着前两项的相加过程

追踪矩阵的 第(0,0)元素，就得到 fibonacci(n)的结果

struct matrix_struct {
    int matrix[2][2];
};

// 两个 2x2 矩阵相乘
void matrixMultiply(struct matrix_struct matrix_structA, 
struct matrix_struct *matrix_structB) {
    struct matrix_struct matrix_structX;
    matrix_structX.matrix;
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            matrix_structX.matrix[i][j] 
= matrix_structA.matrix[i][0] * matrix_structB->matrix[0][j] 
+ matrix_structA.matrix[i][1] * matrix_structB->matrix[1][j];
        }
    }
    *matrix_structB = matrix_structX;
}

// 矩阵的平方运算
// n: 矩阵与初始矩阵执行 n次相乘运算，每次相乘之后，结果替换掉原矩阵 执行下一次相乘
// matrix: 2行2列的矩阵
void matrixPower(int n, struct matrix_struct *matrix_structY) {
    struct matrix_struct matrix_structX;
    matrix_structX.matrix[0][0] = 1;
    matrix_structX.matrix[0][1] = 1;
    matrix_structX.matrix[1][0] = 1;
    matrix_structX.matrix[1][1] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        matrixMultiply(matrix_structX, matrix_structY);
    }
}

int fibonacci3(int n) {
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    struct matrix_struct matrix_structInit;
    matrix_structInit.matrix[0][0] = matrix_structInit.matrix[1][1] = 1;
    matrix_structInit.matrix[0][1] = matrix_structInit.matrix[1][0] = 0;
    
    struct matrix_struct *matrix_structI = &matrix_structInit;
    
    // 其中第一次相乘 的到 初始 矩阵 
    matrixPower(n - 1, matrix_structI);
    return matrix_structI->matrix[0][0];
}

这个版本并没有不合适的内存问题

接下来继续分析是执行次数，也就是时间复杂度

matrixPower for循环还是n，所以复杂度继续保持在n这个数量级，与之前的版本没多大差别

复杂度继续优化

根据 矩阵的平方运算 matrixPower，执行了n次

其实也就是矩阵 （1，1，1，0）【标识 两行两列， 第一行: 1，1 ，第二行: 1，0】 执行了n次相乘

我们可以考虑减少 相乘计算的次数，比如16次相乘，其实就是 4次相乘结果的平方

void matrixPowerEnhance(int n, struct matrix_struct *matrix_structY) {
    if (n > 1) {
        matrixPower(n / 2, matrix_structY);
        matrixMultiply(*matrix_structY, matrix_structY);
    }
    if (n & 0x1) {
        // n奇数
        struct matrix_struct matrix_structX;
        matrix_structX.matrix[0][0] = 1;
        matrix_structX.matrix[0][1] = 1;
        matrix_structX.matrix[1][0] = 1;
        matrix_structX.matrix[1][1] = 0;
        matrixMultiply(matrix_structX, matrix_structY);
    }
}

折半操作还可以持续重复，因为折半收敛非常快

struct matrix_struct matrixMultiply1(struct matrix_struct matrix_structA, struct matrix_struct matrix_structB) {
    struct matrix_struct matrix_structX;
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            matrix_structX.matrix[i][j] 
= matrix_structA.matrix[i][0] * matrix_structB.matrix[0][j] 
+ matrix_structA.matrix[i][1] * matrix_structB.matrix[1][j];
        }
    }
    return matrix_structX;
}

struct matrix_struct matrixPowerEnhance1(int n, 
struct matrix_struct matrix_structY) {
    struct matrix_struct result = matrix_structY;
    if (n > 1) {
        result = matrixPowerEnhance1(n / 2, matrix_structY);
        result = matrixMultiply1(result, result);
        
        if (n & 0x1) {
            // n奇数
            struct matrix_struct matrix_structX;
            matrix_structX.matrix[0][0] = 1;
            matrix_structX.matrix[0][1] = 1;
            matrix_structX.matrix[1][0] = 1;
            matrix_structX.matrix[1][1] = 0;
            result = matrixMultiply1(matrix_structX, result);
        }
        
        return result;
    }
    
    struct matrix_struct matrix_structX;
    matrix_structX.matrix[0][0] = 1;
    matrix_structX.matrix[0][1] = 1;
    matrix_structX.matrix[1][0] = 1;
    matrix_structX.matrix[1][1] = 0;
    return matrixMultiply1(matrix_structX, matrix_structY);
}

虽然递归了，但是每次递归的作用是为了 折半

如此 原来的执行次数n 做了个折扣处理，2^t = n

即 t = log(n)

时间复杂度变为了 log(n)

总结

• 通过最基础的斐波那契，我们可以先通过自己的理解，在自己能力范围内先实现算法

• 在实现的基础上分析复杂度问题

• 在自己实现的版本基础上发现可优化的点，比如常规的递归实现，包含了大量的重复执行，去掉不必要的执行，其实就是在优化算法了

• 算法的复杂度优化是一步步循序渐进完善的，并非一蹴而就，也不是刷多少算法能解决的，其实是一种本质的思维方式

• 没有什么高深的点，守得住耐心，总会找到完善的空间

• 不抛弃底层的本质思维，不眼高手低，慢慢就会触及到一些思想的门槛，比如文章中的优化思路就摸到了 动态规划的思想

• 有了这个引子，再去看一些算法思想，看别人的实现，才会深有体会，不致于过眼烟云