对数函数客观题：2022年新高考数学题8

2022-06-20 本文已影响0人易水樵

2022年新高考数学题8

设 $f(x)$ 是定义域为 $\boldsymbol{R}$ 的偶函数，且在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，若 $a=f(\log_{\sqrt{2} } \dfrac{1}{\sqrt{3}})$ , $b=f(\log_{\sqrt{3} } \dfrac{1}{\sqrt{2}})$ , $c=f(-3^{-\frac{4}{3}})$ ,

则 $a,b,c$ 的大小关系为

$A.\; c \gt b \gt a \quad B.\; b\gt c \gt a$

$B.\;a \gt c \gt b \quad D.\; a \gt b \gt c$

【解析】

$\log_{\sqrt{2} } \dfrac{1}{\sqrt{3}} = - \log_{\sqrt{2} } {\sqrt{3}}$

$\log_{\sqrt{2} } {\sqrt{3}} = \dfrac {\log_2 \sqrt{3}} {\log_2 \sqrt{2}} = \dfrac{ \frac{1}{2} \log_2 3} {\frac{1}{2} \log_2 2} = \log_2 3$

∵ $f(x)$ 是偶函数，∴ $a= f( \log_2 3)$ ;

同理， $b= f( \dfrac{1}{\log_2 3})$ ;

$c = f( \dfrac{1}{ 3 ^ \frac{4}{3}})$ ;

$2 \lt 3 \lt 2^2 \Rightarrow 1 \lt \log_2 3 \lt 2$

$\Rightarrow\; \dfrac{1}{2} \lt \dfrac{1}{\log_2 3} \lt 1$

$3 ^ \frac{4}{3} \gt 3 \Rightarrow \dfrac{1}{ 3 ^ \frac{4}{3}} \lt \dfrac{1}{3}$

∴ $3^{-\frac{4}{3}} \lt \dfrac{1}{\log_2 3} \lt \log_2 3$

∴ $c \lt b \lt a$

选项 D 正确.

【提炼与提高】

比大小是传统的题型。本题主要用到了偶函数的性质和对数函数的性质.

【相关考题】

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