利用函数性质解含参不等式的恒成立问题

2021-01-19 本文已影响0人天马无空

利用函数性质解含参不等式的恒成立问题

方法二函数性质法

使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型

解题步骤：

第一步首先可以把含参不等式整理成适当形式如 $f(x,a) \geqslant 0$ 、 $f(x,a)<0$ 等；

第二步从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；

第三步得出结论.

【例】已知函数 $f(x)=ax^3-\dfrac{3}{2}x^2+1 (x\in R)$ ，其中 $a>0$ . 若在区间 $\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ 上， $f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

【解】 $\because f'(x)=3ax^2-3x$ ，令 $f'(x)=0$ ，解得 $x=0$ 或 $x=\dfrac{1}{a}$ .

(1)若 $0<a \leqslant 2$ ，则 $\dfrac{1}{a} \geqslant \dfrac{1}{2}$

于是当 $-\dfrac{1}{2}<x<0$ 时， $f'(x)>0$ ；

当 $0<x<\dfrac{1}{2}$ 时， $f'(x)<0$ 。

所以当 $x=0$ 时，有极大值。

于是 $x \in \left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ 时， $f(x)>0$ 等价于 $\begin{cases}f\left(-\dfrac{1}{2}\right)>0 \\f\left(\dfrac{1}{2}\right)>0 \end{cases}$

解得 $0<a \leqslant 2$

(2)若 $a>2$ ，则 $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{2}$ ，

于是当 $-\dfrac{1}{2}<x<0$ 时， $f'(x)>0$ ；

当 $0<x<\dfrac{1}{a}$ 时， $f'(x)<0$ 。

所以当 $x=0$ 时， $f(x)$ 有最大值，

当 $x=\dfrac{1}{a}$ 时， $f(x)$ 有最小值。

于是 $x \in \left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ 时， $f(x)>0$ 等价于 $\begin{cases}f\left(-\dfrac{1}{2}\right)>0 \\f\left(\dfrac{1}{a}\right)>0 \end{cases}$