正态分布

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正态分布

$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, -\infty < x < + \infty$

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注意一下公式分母中的 $\sigma$ 是根号外面，这个公式熟练掌握程度也能从侧面反映你对机器学习一些算法理解程度。
$N \sim N(\mu,\sigma^2)$

$\int_{-\infty}^{+ \infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$

我们研究一个分布通常都会关心其密度函数和分布函数，接下来我们就尝试写一写其密度函数。

密度函数

正态分布密度函数求积分为 1，下面用密度函数积分为 1 进行推导。
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$
$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}d(x-\mu)\\ \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{-(\frac{(x-\mu)}{\sqrt{2}\sigma})^2}d(\frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma})\\ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi} = 1 \end{aligned}$

分布函数

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt$

正态分布性质

$y=\phi(x)$ 是以 $x=\mu$ 为对称轴
$x = \mu$ 时 $\phi(x)$ 的最大值 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
$y = \phi(x)$ 以 x 轴为渐进线，并且在 $x = \mu \pm \sigma$ 拐点
$\sigma$ 固定时，更改 $\mu$ 值，左右移动
$\mu$ 固定时，更改 $\sigma$ 值，如果 $\sigma$ 变小最高点就会向上移动(陡)，如果 $\sigma$ 变大最高点向下移动(缓)。
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