高中数学纲目

函数与导数之目：2022年新高考全国卷题22（第1问）

2022-06-16 本文已影响0人易水樵

2022年新高考全国卷题22

分值：12分

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln(ax)}{x} - \mathrm{e} \ln x$ ( $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 是自然对数底数 )

（1）当 $a=\mathrm{e}$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性;

（2）当 $a \gt \mathrm{e}$ 时，证明： $f(x) \lt (a-1) \mathrm{e}$ .

【解答问题1】

当 $a=\mathrm{e}$ 时， $f(x)=\dfrac{\ln(\mathrm{e}x)}{x} - \mathrm{e} \ln x$

函数的定义域为 $(0,+\infty)$ .

$f(x)=\dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln x}{x} - \mathrm{e} \ln x$

$f'(x)= -\dfrac{1}{x^2} +\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x^2}\ln x - \dfrac{\mathrm{e}}{x}$

$f'(x) = -\dfrac{1}{x}(\dfrac{\ln x}{x}+ \mathrm{e})$

记 $g(x)= \dfrac{\ln x}{x} + \mathrm{e}$ , 则 $g'(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^2}$

$x \in (-\infty, \mathrm{e}), g'(x) \gt 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递增；

$x \in (\mathrm{e},+\infty), g'(x) \lt 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递减；

$g(\dfrac{1}{\mathrm{e}}) =0$ ,

$x \in (1,+\infty), \ln x \gt 0, g(x) \gt 0$ ,

$x \in (-\infty, 1), g'(x) \gt 0, g(x) \lt g(\dfrac{1}{\mathrm{e}})$ ,

所以，

$x \in (0,\dfrac{1}{\mathrm{e}}), g(x) \lt 0, f'(x) \gt 0$ , 函数单调递增；

$x = \dfrac{1}{\mathrm{e}}, g(\dfrac{1}{\mathrm{e}}) = 0, f'(x) = 0$ , 函数取极大值；

$x \in (\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty),g(x) \gt 0, f'(x) \lt 0$ , 函数单调递减；

【提炼与提高】

用导函数讨论函数的单调性，是基本的方法，也是高频考点.

若 $h(x)= \dfrac{\ln x}{x}$ ,

则 $h'(x)= \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}\ln x$

这是一个常用结论，高考中多次用到.

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