数学分析理论基础19：微分

2019-01-28 本文已影响31人溺于恐

微分

微分的概念

定义：设函数 $y=f(x)$ 定义在点 $U(x_0)$ 上,当给 $x_0$ 一个增量 $\Delta x$ , $x_0+\Delta x\in U(x_0)$ 时,相应地得到函数增量为 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

若 $\exists A$ ,使得 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ,则称函数f在点 $x_0$ 可微,并称 $A\Delta x$ 为f在点 $x_0$ 的微分,记作 $dy|_{x=x_0}=A\Delta x$ 或 $df(x)|_{x=x_0}=A\Delta x$

dy是 $\Delta x$ 的线性函数, $A\neq 0$ 时,称微分dy为增量 $\Delta y$ 的线性主部

注：

1.函数f在点 $x_0$ 可导和可微是等价的

2.若函数 $y=f(x)$ 在区间上每一点都可微,则称f为I上的可微函数,函数 $y=f(x)$ 在I上任一点x处的微分记作 $dy=f'(x)\Delta x,x\in I$ (依赖于 $\Delta x$ 和x)

3.y=x时, $dy=dx=\Delta x$ ,自变量的微分dx就等于自变量的增量,于是 $dy=f'(x)dx$ ,即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积

4.函数的导数等于函数微分域自变量微分的商 $f'(x)={dy\over dx}$ ,导数也称为微商

定理：函数在点 $x_0$ 可微 $\Leftrightarrow$ 函数f在点 $x_0$ 可导,且 $A=f'(x_0)$

证明：

$必要性$

$若f在点x_0可微$

${\Delta y\over \Delta x}=A+o(1)$

$取极限可得$

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\Delta y\over \Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(A+o(1))=A$

$即f在点x_0可导且导数等于A$

$充分性$

$若f在点x_0可导$

$则f在点x_0的有限增量公式$

$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$

$表明函数增量\Delta y可表为$

$线性部分f'(x_0)\Delta x与较\Delta x高阶的无穷小量之和$

$\therefore f在点x_0可微,且$

$dy|_{x=x_0}=f'(x_0)\Delta x\qquad\mathcal{Q.E.D}$

微分的几何意义

当自变量由 $x_0$ 增加到 $x_0+\Delta x$ 时,函数增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ,微分是在点P处的切线上与 $\Delta x$ 对应的增量 $dy=f'(x_0)\Delta x$

微分的运算法则

由导数与微分的关系

1. $d[u(x)\pm v(x)]=du(x)\pm dv(x)$

2. $d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)$

3. $d({u(x)\over v(x)})={v(x)du(x)-u(x)dv(x)\over v^2(x)}$

4. $d(f\circ g(x))=f'(u)du=f'(g(x))g'(x)dx$

一阶微分形式的不变性： $dy=f'(x)dx$ 不仅在x为自变量时成立,当它是另一可微函数的因变量时也成立

高阶微分

$y=f(x)$ 的一阶微分是 $dy=f'(x)dx$ ,其中变量x和dx是相互独立的,将一阶微分作为x的函数,若f二阶可导,则dy对自变量x的微分 $d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)dx\cdot dx=f''(x)(dx)^2$ 或写作 $d^2y=f''(x)dx^2$ ,称为函数f的二阶微分

区别： $dx^2=(dx)^2$ ; $d^2x$ 表示x的二阶微分( $d^2x=0$ ); $d(x^2)$ 表示 $x^2$ 的一阶微分( $d(x^2)=2xdx$ )

注：

1.n阶微分是n-1阶微分的微分,记作 $d^ny$ ,即

$d^ny=d(d^{n-1}y)=d(f^{(n-1)}(x)dx^{n-1})$

$=f^{(n)}(x)dx^n$

可写成 ${d^ny\over dx^n}=f^{(n)}(x)$

2.对 $n\ge 2$ 的n阶微分称为高阶微分

3.一阶微分具有形式不变性,而高阶微分不具备这个性质

例：

$x为y=f(x)的自变量时$

$d^2y=f''(x)dx$

$x为复合函数y=f(x),x=\varphi(t)的中间变量时$

$y=f(\varphi(t))为t的函数$

$对t的一阶微分为dy=f'(x)dx$

$其中dx=\varphi'(t)dt$

$对t的二阶微分为d^2y=(f(\varphi(t)))''dt^2$

$=(f'(\varphi(t))\varphi'(t))'dt^2$

$=[f''(\varphi(t))(\varphi'(t))^2+f'(\varphi(t))\varphi''(t)]dt^2$

$=f''(x)dx^2+f'(x)d^2x$

例：设 $y=f(x)=sinx$ , $x=\varphi(t)=t^2$ ,求 $d^2y$

解：

$y=sint^2$

$y'=2tcost^2$

$y''=2cost^2-4t^2sint^2$

$d^2y=(2cost^2-4t^2sint^2)dt^2$

法二：

$d^2y=f''(x)dx^2+f'(x)d^2x$

$=-sinxdx^2+cosxd^2x$

$=-sint^2\cdot (2t)^2dt^2+cost^2\cdot 2dt^2$

$=(2cost^2-4t^2sint^2)dt^2$

错解：

$d^2y=f''(x)dx^2$

$=-sinx(2tdt)^2$

$=-4t^2sint^2dt^2$

微分在近似计算中的应用

函数的近似计算

由函数增量与微分的关系 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)=dy+o(\Delta x)$ , $\Delta x$ 很小时有 $\Delta y\approx dy$ ,由此可得 $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ ,或 $x\approx x_0$ 时有 $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

几何意义：当x充分接近 $x_0$ 时可用切线近似替代曲线(以直代曲),线性近似的思想可简化复杂问题

例：

令 $x_0=0$ ,可得原点附近的近似公式：

$sinx\approx x$ , $tanx\approx x$ ,

$ln(1+x)\approx x$ , $e^x\approx x$

例：求 $sin33^\circ$ 的近似值

解：

$sin33^\circ=sin({\pi\over 6}+{\pi\over 60})$

$取f(x)=sinx,x_0={\pi\over 6},\Delta x={\pi\over 60}$

$sin33^\circ\approx sin{\pi\over 6}+cos{\pi\over 6}\cdot {\pi\over 60}$

$={1\over 2}+{\sqrt{3}\over 2}\cdot {\pi\over 60}$

$\approx 0.545$

例：设钟摆的周期为1s,在冬季摆长至多缩短0.01cm,求此钟每天至多快几秒

解：

$T=2\pi\sqrt{l\over g}$

$其中g为重力加速度$

$T=1s,$

$\therefore l_0={g\over (2\pi)^2}$

$摆长至多缩短0.01cm时$

$摆长增量\Delta l=-0.01$

$单摆周期增量为$

$\Delta T\approx{dT\over dl}|_{l=l_0}\cdot \Delta l$

$={\pi\over \sqrt{g}}\cdot {1\over \sqrt{l_0}}\Delta l$

$={2\pi^2\over g}\Delta l$

$={2\pi^2\over 980}\times (-0.01)\approx -0.0002s$

$即加快约0.0002s$

$\therefore 每天大约加快60\times 60\times 24\times 0.0002=17.28s$

误差估计

设x由测量得到,y由函数 $y=f(x)$ 计算得到,在测量时,存在测量误差,实际测得的为x的近似值 $x_0$ ,由 $x_0$ 算得 $y_0=f(x_0)$ 也是 $y=f(x)$ 的近似值,若已知测量值 $x_0$ 的误差限为 $\delta_x$ (与测量工具有关),即 $|\Delta x|=|x-x_0|\le \delta_x$ ,则 $\delta_x$ 很小时, $|\Delta y|=|f(x)-f(x_0)|\approx |f'(x_0)\Delta x|\le |f'(x_0)|\delta_x$ ,而相对误差限则为 ${\delta_y\over |y_0|}=|{f'(x_0)\over f(x_0)}|\delta_x$