微分方程-恰当方程

2019-10-22 本文已影响0人洛玖言

恰当方程

考虑对称形式的一阶微分方程

$P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0\quad(2.1)$

如果存在一个可微函数 $\varPhi(x,y)$ ，使它的全微分为

$\text{d}\varPhi(x,y)=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$

亦它的偏导数为

$\displaystyle\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x}=P(x,y),\;\;\dfrac{\partial \varPhi}{\partial y}=Q(x,y)$

则称（2.1）为 恰当方程 或 全微分方程 . 因此，当方程（2.1）为恰当方程时，可将它改为全微分的形式

$\displaystyle\text{d}\varPhi(x,y)=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0$

从而

$\varPhi(x,y)=C\quad(2.3)$

就是方程（2.1）的一个通积分.

事实上，将任意常数 $C$ 取定后，利用逆推法容易验证：由（2.3）式所确定的隐函数 $y=u(x)$ （或 $x=v(y)$ ）就是方程（2.1）的一个解. 反之，若 $y=u(x)$ （或 $x=v(y)$ ）是微分方程的（2.1）的一个解，则有

$\displaystyle\text{d}\varPhi(x,y)=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0,$

其中 $y=u(x)$ （或 $x=v(y)$ ）. 从而 $y=u(x)$ （或 $x=v(y)$ ）满足（2.3），其中积分常数 $C$ 决定于解 $y=u(x)$ （或 $x=v(y)$ ）的初值 $(x_0,y_0)$ ，
亦即 $C=\varPhi(x_0,y_0)$

定理 2.1

设函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在区域
$R:\;\;\alpha<x<\beta,\quad\gamma<y<\delta$
上连续，且有连续的一阶偏导数 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 与 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ ，则微分方程（2.1）是恰当方程的充要条件为恒等式