2023-08-22

我们暑假作业中的一题。

这道题的答案是7。

最开始，我看到周长就想用海伦公式，最后得出答案时就代入试了试（设AC=a，AB=b，且求出BC=2，半周长为5.5）：

5.5*3.5*（5.5-a）（5.5-b）=49

（5.5-a）（5.5-b）=196/77

5.5*5.5-5.5a-5.5b+ab=196/77

5.5a+5.5b-ab=8533/308

5.5（a+b）-ab=8533/308

49.5-ab=8533/308

ab=6713/308

所以a+b=9，ab=6713/308。

但是……

没有交点。没有这样的三角形。

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这部分验算比较麻烦，所以我又想出了一个办法：作AG平分∠BAC交BC于G点，作GM⊥AC，GN⊥AB

易证GM=GN.

因为三角形ABC面积为7，AB+AC=9,

所以GM=GN=14/9

因为垂线段最短，

所以GM≤CG,GN≤BG（不能同时取等）

所以GM+GN<BC

因为GM=GN=14/9

所以GM+GN=28/9

因为BC=2

所以28/9＜2

该不等式不成立，所以没有这样的三角形，题目不成立。

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还是刚才的图，更简单一点，

因为GM+GN＜BC

所以GM+GN＜2

GM=GN＜1

所以三角形ABC面积小于4.5

因为4.5<7

所以没有这样的三角形，题目不成立。