空间向量在立体几何中的应用（一）

2021-03-22 本文已影响0人天马无空

向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象过程，能直接使用代数运算来解决立体几何中的计算和证明问题．在近几年的高考中几乎每年都有出现，其题型主要是大题形式出现，有时也会在选择题或填空题中应用．

类型一空间向量法解立体几何中证明垂直问题

空间向量法解立体几何中证明垂直问题

使用情景：立体几何中证明垂直问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解；[来源:学+科+网]
第三步得出结论．
【例1】、直三棱柱 $ABC—A_1B_1C_1$ 中，底面 $△ABC$ 中， $CA=CB=1$ ， $∠BCA=90°$ ，棱 $AA_1=2$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $A_1B_1$ 、 $A_1A$ 的中点.

求证： $A_1B⊥C_1M$ .

证明：以 $C$ 为原点， $\overrightarrow{CA}$ 、 $\overrightarrow{CB}$ 、 $\overrightarrow{CC_1}$ 分别为 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系

依题意有 $C_1(0,0,2)$ ， $M(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},2)$ ， $\overrightarrow{A_1B}=(-1,1,-2)$ ， $\overrightarrow{C_1M}=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0)$ ，

$\therefore \overrightarrow{A_1B} \cdot\overrightarrow{C_1M}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+0=0$ ，

$\therefore \overrightarrow{A_1B} \perp\overrightarrow{C_1M}$

$\therefore A_1B⊥C_1M$

【例２】、如图所示， $PD⊥$ 平面 $ABCD$ ，且四边形 $ABCD$ 为正方形， $AB=2$ , $E$ 是 $PB$ 的中点， $\cos<\overrightarrow{DP},\overrightarrow{AE}>=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)建立适当的空间坐标系，写出点 $E$ 的坐标；

(2)在平面 $PAD$ 内求一点 $F$ ，使 $EF⊥$ 平面 $PCB$ .

【答案】
(1) 点 $E$ 的坐标是 $(1,1,1)$
(2) $F$ 是 $AD$ 的中点时满足 $EF⊥$ 平面 $PCB$ ．
【解析】

(1)如图所示,

以 $DA$ 、 $DC$ 、 $DP$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系，

则 $A(2,0,0)$ 、 $B(2,2,0)$ 、 $C(0,2,0)$ ，设 $P(0,0,2m)$ ，则 $E(1,1,m)$ ，

$\therefore \overrightarrow{AE}=(-1,1,m)$ ， $\overrightarrow{DP}=(0,0,2m)$ ，，

$\therefore \cos<\overrightarrow{DP},\overrightarrow{AE}>=\dfrac{2m^2}{\sqrt{1+1+m^2}\cdot 2m}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，

解得 $m=1$ ，

所以点 $E$ 的坐标是 $(1,1,1)$ .

(2) $\because F \in$ 平面PAD， $\therefore$ 可设 $F(x,0,z)$

则 $\overrightarrow{EF}=(x-1,-1,z-1)$ ，又 $\overrightarrow{CB}=(2,2,0)$ ， $\overrightarrow{PC}=(0,2,-2)$ ，

$\because EF⊥$ 平面 $PCB$ ， $\therefore \overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{CB}$ 且 $\overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{PC}$

即 $\begin{cases}\vec{EF}\cdot \overrightarrow{CB}=0 \\ \vec{EF} \cdot \overrightarrow{PC}=0\end{cases}$ ， $\therefore\begin{cases}(x-1,-1,z-1)\cdot(2,0,0)=0 \\ (x-1,-1,z-1)\cdot(0,2,-2)=0\end{cases}$ ，

$\therefore\begin{cases}x=1 \\ z=0\end{cases}$

$\therefore F$ 点的坐标为 $(1,0,0)$ ，即点 $F$ 是 $AD$ 的中点时满足 $EF⊥$ 平面 $PCB$ ．

类型二空间向量法解立体几何中证明平行问题

空间向量法解立体几何中证明平行问题

使用情景：立体几何中证明平行问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解；
第三步得出结论．

【例】如图, 已知矩形 $ABCD$ 所在平面垂直于直角梯形 $ABPE$ 所在平面于直线 $AB$ ，且 $AB=BP=2$ ， $AD=AE=1$ ， $AE\perp AB$ ，且 $AE \parallel BP$ . 设点 $M$ 为棱 $PD$ 中点，求证： $EM \parallel$ 平面 $ABCD$ ；(同探索问题例题)