数据结构与算法 树与二叉树
2020-05-02 本文已影响0人
今年27
树的定义
树（tree）是n（n>=0）个结点的有限集合。当n=0时，该集合满足以下条件：
（1）有且只有一个特殊的结点称为树的根（root），根结点没有直接前驱结点，但有零个或多个直接后继结点。
（2）跟结点之外的其余n-1个结点被分成m(m>0)个互相不相交的集合T1、T2、···、Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身又是一棵树。树T1，T2，···，Tm称为根节点的子树。
树的定义
树的相关概念
（1）结点：包含一个数据元素及若干指向其他结点的分支信息的数据结构。
（2）结点的度：结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。
（3）叶子结点：度为0的结点称为叶子结点，或者称为终端结点。
（4）分支结点：度不为0的结点称为分支结点，或者称为非终端结点。一棵树的结点除叶子结点外，其余的结点都是分支结点。
（5）孩子结点、双亲结点、兄弟结点：树中一个结点的子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为孩子结点的双亲结点。具有同一个双亲结点的孩子结点互称为兄弟结点。
（6）路径、路径长度：设n1，n2，···，nk为一棵树的结点序列，若结点ni是ni+i的双亲结点（1<=i <k）,则把n1，n2，···，nk称为一条由n1至nk的路径。这条路径的长度是k-1。
（7）祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点M到结点N，那么M就称为N的祖先，而N称为M的子孙。
（8）结点的层次：规定树的根结点的层数为1，其余结点的层数等于它的双亲结点层数加1。
（9）树的深度（高度）：树中所有结点的层次的最大树称为树的深度。
（10）树的度：树中所有结点度的最大值称为该树的度。
（11）有序树和无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，即若交互了某结点各子树的相应位置，则构成不同的树，称这棵树为有序树；反之，则称为无序树。
（12）森林：m（m>=0）棵不想交的树的集合称为森林。自然界中树和森林是不同的概念，但在数据结构中，树和森林只有很小的差别。任何一棵树，删去根结点就变成了森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
树的概念
二叉树
二叉树是一种简单又非常重要的树形结构。由于任何数都可以转换为二叉树进行处理，而二叉树又有许多好的性质，非常适合于计算机处理，因此二叉树也是数据结构研究的重点。
基本概念
二叉树（Binary Tree）是有n个结点的有限集合，该集合或者为空、或者由一个称为根（Root）的结点及两个不相交、被分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。一颗二叉树中每个结点只能含有0、1或2个孩子结点，而且孩子节点分左、右孩子。
二叉树
满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上，这样的一棵二叉树称为满二叉树。
满二叉树
完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i(i<=n)的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。其特点是:叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。
完全二叉树
二叉树的遍历：
一棵二叉树由根结点、左子树和右子树三部分组成，若规定 D、L、R 分别代表遍历根结点、遍历左子树、遍历右子树，则二叉树的遍历方式有 6 种：DLR、DRL、LDR、LRD、RDL、RLD。由于先遍历左子树和先遍历右子树在算法设计上没有本质区别，所以，只讨论三种方式：
前序遍历:DLR--前序遍历（根在前，从左往右，一棵树的根永远在左子树前面，左子树又永远在右子树前面 ）
先序遍历
中序遍历:LDR--中序遍历（根在中，从左往右，一棵树的左子树永远在根前面，根永远在右子树前面）
中序遍历
后序遍历:LRD--后序遍历（根在后，从左往右，一棵树的左子树永远在右子树前面，右子树永远在根前面）
后序遍历
层序遍历：按层，从上到下，从左到右遍历，这个没啥好说的。
层序遍历
以顺序存储结构上代码：
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType; /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点 */
CElemType Nil = 0; /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/
typedef struct {
int level; //结点层
int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;
#pragma mark -- 二叉树的基本操作
//6.1 visit
Status visit(CElemType c){
printf("%d ",c);
return OK;
}
//6.2 构造空二叉树T,因为T是固定数组,不会改变.
Status InitBiTree(SqBiTree T){
for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
//将二叉树初始化值置空
T[i] = Nil;
}
return OK;
}
//6.3 按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的二叉树T
Status CreateBiTree(SqBiTree T){
int i = 0;
//printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);
/*
1 -->1
2 3 -->2
4 5 6 7 -->3
8 9 10 -->4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nil Nil Nil
*/
while (i < 10) {
T[i] = i+1;
printf("%d ",T[i]);
//结点不为空,且无双亲结点
if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {
printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
exit(ERROR);
}
i++;
}
//将空赋值给T的后面的结点
while (i < MAX_TREE_SIZE) {
T[i] = Nil;
i++;
}
return OK;
}
//技巧:
//如果大家想要2个函数的结果一样,但是目的不同;
//在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree
/*6.4 判断二叉树是否为空
初始条件: 二叉树已存在
操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则返回FALSE;
*/
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){
//根结点为空,则二叉树为空
if (T[0] == Nil)
return TRUE;
return FALSE;
}
/*6.5 获取二叉树的深度
初始条件: 二叉树已存在
操作结果: 返回二叉树T深度;
*/
int BiTreeDepth(SqBiTree T){
int j = -1;
int i;
//找到最后一个结点
//MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置
for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {
if (T[i] != Nil)
break;
}
do {
j++;
} while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂
return j;
}
/*6.6 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置)
操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
*/
CElemType Value(SqBiTree T,Position e){
/*
Position.level -> 结点层.表示第几层;
Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
*/
//pow(2,e.level-1) 找到层序
printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1));
//e.order
printf("%d\n",e.order);
//4+2-2;
return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];
}
/*6.7 获取二叉树跟结点的值
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 返回OK; 否则返回ERROR
*/
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
if (BiTreeEmpty(T)) {
return ERROR;
}
*e = T[0];
return OK;
}
/*
6.8 给处于位置e的结点赋值
初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置
操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value;
*/
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){
//找到当前e在数组中的具体位置索引
int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;
//叶子结点的双亲为空
if (value != Nil && T[(i+1)/2-1] == Nil) {
return ERROR;
}
//给双亲赋空值但是有叶子结点
if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) {
return ERROR;
}
T[i] = value;
return OK;
}
/*
6.9 获取e的双亲;
初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点
操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空"
*/
CElemType Parent(SqBiTree T, CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[(i+1)/2 - 1];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
/*
6.10 获取某个结点的左孩子;
初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
*/
CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[i*2+1];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
/*
6.11 获取某个结点的右孩子;
初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
*/
CElemType RightChild(SqBiTree T,CElemType e){
//空树
if (T[0] == Nil) {
return Nil;
}
for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
//找到e
if (T[i] == e) {
return T[i*2+2];
}
}
//没有找到
return Nil;
}
/*
6.12 获取结点的左兄弟
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂
*/
CElemType LeftSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
/* 空树 */
if(T[0]==Nil)
return Nil;
for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
/* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
if(T[i]==e&&i%2==0)
return T[i-1];
return Nil; /* 没找到e */
}
/* 6.13 获取结点的右兄弟
初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂
*/
CElemType RightSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
/* 空树 */
if(T[0]==Nil)
return Nil;
for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
/* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
if(T[i]==e&&i%2==1)
return T[i+1];
return Nil; /* 没找到e */
}
#pragma mark -- 二叉树的遍历
/*
6.14 层序遍历二叉树
*/
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T){
int i = MAX_TREE_SIZE-1;
//找到最后一个非空结点的序号
while (T[i] == Nil) i--;
//从根结点起,按层序遍历二叉树
for (int j = 0; j <= i; j++)
//只遍历非空结点
if (T[j] != Nil)
visit(T[j]);
printf("\n");
}
/*
6.15 前序遍历二叉树
*/
void PreTraverse(SqBiTree T,int e){
//打印结点数据
visit(T[e]);
//先序遍历左子树
if (T[2 * e + 1] != Nil) {
PreTraverse(T, 2*e+1);
}
//最后先序遍历右子树
if (T[2 * e + 2] != Nil) {
PreTraverse(T, 2*e+2);
}
}
Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){
//树不为空
if (!BiTreeEmpty(T)) {
PreTraverse(T, 0);
}
printf("\n");
return OK;
}
/*
6.16 中序遍历
*/
void InTraverse(SqBiTree T, int e){
/* 左子树不空 */
if (T[2*e+1] != Nil)
InTraverse(T, 2*e+1);
visit(T[e]);
/* 右子树不空 */
if (T[2*e+2] != Nil)
InTraverse(T, 2*e+2);
}
Status InOrderTraverse(SqBiTree T){
/* 树不空 */
if (!BiTreeEmpty(T)) {
InTraverse(T, 0);
}
printf("\n");
return OK;
}
/*
6.17 后序遍历
*/
void PostTraverse(SqBiTree T,int e)
{ /* 左子树不空 */
if(T[2*e+1]!=Nil)
PostTraverse(T,2*e+1);
/* 右子树不空 */
if(T[2*e+2]!=Nil)
PostTraverse(T,2*e+2);
visit(T[e]);
}
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
PostTraverse(T,0);
printf("\n");
return OK;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("二叉树顺序存储结构实现!\n");
Status iStatus;
Position p;
CElemType e;
SqBiTree T;
InitBiTree(T);
CreateBiTree(T);
printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) \n",BiTreeEmpty(T));
printf("树的深度=%d\n",BiTreeDepth(T));
p.level=3;
p.order=2;
e=Value(T,p);
printf("第%d层第%d个结点的值: %d\n",p.level,p.order,e);
iStatus = Root(T, &e);
if (iStatus) {
printf("二叉树的根为:%d\n",e);
}else
{
printf("树为空,无根!\n");
}
//向树中3层第2个结点位置上结点赋值99
e = 99;
Assign(T, p, e);
//获取树中3层第2个结点位置结点的值是多少:
e=Value(T,p);
printf("第%d层第%d个结点的值: %d\n",p.level,p.order,e);
//找到e这个结点的双亲;
printf("结点%d的双亲为%d_",e,Parent(T, e));
//找到e这个结点的左右孩子;
printf("左右孩子分别为:%d,%d\n",LeftChild(T, e),RightChild(T, e));
//找到e这个结点的左右兄弟;
printf("结点%d的左右兄弟:%d,%d\n",e,LeftSibling(T, e),RightSibling(T, e));
Assign(T, p, 5);
printf("二叉树T层序遍历:");
LevelOrderTraverse(T);
printf("二叉树T先序遍历:");
PreOrderTraverse(T);
printf("二叉树T中序遍历:");
InOrderTraverse(T);
printf("二叉树T后序遍历:");
PostOrderTraverse(T);
return 0;
}
以链表的形式上代码：
#include "string.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
/* 存储空间初始分配量 */
#define MAXSIZE 100
/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Status;
#pragma mark--二叉树构造
int indexs = 1;
typedef char String[24]; /* 0号单元存放串的长度 */
String str;
Status StrAssign(String T,char *chars)
{
int i;
if(strlen(chars)>MAXSIZE)
return ERROR;
else
{
T[0]=strlen(chars);
for(i=1;i<=T[0];i++)
T[i]=*(chars+i-1);
return OK;
}
}
#pragma mark--二叉树基本操作
typedef char CElemType;
CElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
typedef struct BiTNode /* 结点结构 */
{
CElemType data; /* 结点数据 */
struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;
/*7.1 打印数据*/
Status visit(CElemType e)
{
printf("%c ",e);
return OK;
}
/* 7.2 构造空二叉树T */
Status InitBiTree(BiTree *T)
{
*T=NULL;
return OK;
}
/* 7.3 销毁二叉树
初始条件: 二叉树T存在。
操作结果: 销毁二叉树T
*/
void DestroyBiTree(BiTree *T)
{
if(*T)
{
/* 有左孩子 */
if((*T)->lchild)
DestroyBiTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */
/* 有右孩子 */
if((*T)->rchild)
DestroyBiTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */
free(*T); /* 释放根结点 */
*T=NULL; /* 空指针赋0 */
}
}
#define ClearBiTree DestroyBiTree
/*7.4 创建二叉树
按前序输入二叉树中的结点值(字符),#表示空树;
*/
void CreateBiTree(BiTree *T){
CElemType ch;
//获取字符
ch = str[indexs++];
//判断当前字符是否为'#'
if (ch == '#') {
*T = NULL;
}else
{
//创建新的结点
*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
//是否创建成功
if (!*T) {
exit(OVERFLOW);
}
/* 生成根结点 */
(*T)->data = ch;
/* 构造左子树 */
CreateBiTree(&(*T)->lchild);
/* 构造右子树 */
CreateBiTree(&(*T)->rchild);
}
}
/*
7.5 二叉树T是否为空;
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE
*/
Status BiTreeEmpty(BiTree T)
{
if(T)
return FALSE;
else
return TRUE;
}
/*
7.6 二叉树T的深度
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 返回T的深度
*/
int BiTreeDepth(BiTree T){
int i,j;
if(!T)
return 0;
//计算左孩子的深度
if(T->lchild)
i=BiTreeDepth(T->lchild);
else
i=0;
//计算右孩子的深度
if(T->rchild)
j=BiTreeDepth(T->rchild);
else
j=0;
//比较i和j
return i>j?i+1:j+1;
}
/*
7.7 二叉树T的根
初始条件: 二叉树T存在
操作结果: 返回T的根
*/
CElemType Root(BiTree T){
if (BiTreeEmpty(T))
return Nil;
return T->data;
}
/*
7.8 返回p所指向的结点值;
初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
操作结果: 返回p所指结点的值
*/
CElemType Value(BiTree p){
return p->data;
}
/*
7.8 给p所指结点赋值为value;
初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
操作结果: 给p所指结点赋值为value
*/
void Assign(BiTree p,CElemType value)
{
p->data=value;
}
#pragma mark--二叉树遍历
/*
7.8 前序递归遍历T
初始条件:二叉树T存在;
操作结果: 前序递归遍历T
*/
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}
/*
7.9 中序递归遍历T
初始条件:二叉树T存在;
操作结果: 中序递归遍历T
*/
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return ;
InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}
/*
7.10 后序递归遍历T
初始条件:二叉树T存在;
操作结果: 中序递归遍历T
*/
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树 */
PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树 */
printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("二叉树链式存储结构实现!\n");
int i;
BiTree T;
CElemType e1;
InitBiTree(&T);
StrAssign(str,"ABDH#K###E##CFI###G#J##");
CreateBiTree(&T);
printf("二叉树是否为空%d(1:是 0:否),树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
e1=Root(T);
printf("二叉树的根为: %c\n",e1);
printf("\n前序遍历二叉树:");
PreOrderTraverse(T);
printf("\n中序遍历二叉树:");
InOrderTraverse(T);
printf("\n后序遍历二叉树:");
PostOrderTraverse(T);
printf("\n");
return 0;
}
