2.2 薛定谔的静态解 Stationary solutions

2020-05-24 本文已影响0人莎野椰

https://www.youtube.com/watch?v=qEgv9gL8ozo&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=14

前言

这个Lecture讲静态薛定谔方程

1. 静态

静态的第一种解释
承接上文对波函数的假设：波函数可以写为时间相关 or 不相关函数的点乘
$\Psi(x,t) = X(x) e^{-\frac{iE}{\hbar} t}$
$\because \rho(x) = |\Psi|^2 = \Psi^* \Psi$ ,将上式带入密度公式中
$\Rightarrow \rho = X^* e^{\frac{iE}{\hbar} t} \cdot X e^{-\frac{iE}{\hbar} t}$
$=X^*X$
注意这个公式把时间有关的量约掉了，所以是一个时间不相关的静态（注意：这是建立在假设波函数=time和position相关的两个函数的点乘形式）。
静态的第二种解释
$\langle \hat Q \rangle = \int X^* e^{\frac{iE}{\hbar} t} \hat Q X e^{-\frac{iE}{\hbar} t} dx$
$\because \hat Q 是与时间无关的算符，所以e^{-\frac{iE}{\hbar} t}可以在算符两边随意移动$
$\therefore = \int X^* \hat Q X dx$
**注意，以上变化方法仅适用于不包含 $\partial / \partial t的算符，如 \hat x = x\Box,\ \hat p = \partial \Box /\partial x, \hat{KE}=...$

2. 静态和能量

空间部分，TISE
$\hat H X = E X$
$\langle \hat H \rangle = \int X^* \hat H X dx$
$=\int X^*EXdx\ = E\int X^* X dx \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \langle \hat H \rangle = E$
上式就证明了，对于Time-independent算符H而言，H的期望就是能量。
方差
- $\sigma_{\hat H}^2 = \langle \hat{H}^2 \rangle - \langle \hat H \rangle^2$
  $\langle \hat{H}^2 \rangle = \int X^* \hat{H}^2 X dx$
  $= \int X^* \hat{H} (\hat H X) dx$
  $= \int X^* \hat H E X dx$
  $继续用薛定谔方程替换$
  $= E\int X^*EX dx$
  $= E^2 \int X^* X dx$
  $\because 归一化$
  $= E^2$
  同理可得
  $\sigma_{\hat H}^2 = E^2 - E^2 = 0$
- 注意：以上方差等于0证明，对于time-independent算符和position相关“波函数”，能量E是唯一确定的，没有任何偏差
上面的方差推导究竟意味着什么？
回顾能量测不准定律
$\underbrace{\Delta E}_0 \cdot \underbrace{\Delta t}_{\infty} \geq \hbar/2$
如果要满足上述测不准定律的话， $\Delta E = 0$ , 那么 $\Delta t \rightarrow \infty$ ,就是说这个物体会永远存在！！！

个人思考：以上证明建立在以下两个假设之上：
(1)波函数可以被分解为time-dependent部分和time-dependent部分的点乘
(2)算符H是time-independent算符
结论： $\langle \hat H \rangle=E$ ; $\sigma_{\hat H}^2 = 0$
文字解释：哈密顿量的期望就是能量，哈密顿量的方差等于0，Matter的能量唯一确定，Matter永远存在，Matter的任何行为都可以预测！

2.2 薛定谔的静态解 Stationary solutions

前言

1. 静态

2. 静态和能量

猜你喜欢

热点阅读