理解的六侧面之公因数和最大公因数

之前，在读书时，有人喊我书呆子！当时还不以为然。想着我心里有数，不呆。现在想想，之前读的书，好多都是呆子之书，之前的学习方法，好多都是呆子之法。为了不让我的学生步我的后尘，我要反思自己，反思现行的教育。

为什么有的学霸毕业后，感觉自己学的东西都忘了，啥也没有记住，啥也不会？

知道是了解、初步认识，是浅层的，低阶的，也可以说可能就没有思维。孩子说的懂了，不一定是真正的理解。书呆子、学究等词表明，单纯的知识才能可能是虚假的理解。，因为大多数的知识都是自己机械的死记硬背得来的，短时间内换来了分数和成绩（评估标准也指向了一些单纯的知识，死记硬背的东西），但不会应用、分析、评价。（布鲁姆的教学目标分类：认知领域的教育目标从低到高可以分为六个层次：知道(知识)——领会(理解)——应用——分析——综合——评价。）

如果你能讲授、使用、证明、联想、解释、辨析所学本领，并领会其言外之意，就是理解了。

青岛版五年级下册《公因数和最大公因数》为例。以往会找公因数、最大公因数，会求公因数、最大公因数、解决问题疑惑80%做对搭配花束问题。

学完本单元的公倍数、最小公倍数之后，综合练习之后，80%的能做对会求公因数、最大公因数，60%的做花束问题。

期末，或者小升初，不考查直接的求公因数和最大公因数了，原来孩子窗口学习得80，单元之后得70，现在50都费劲！是原来的知识忘记了吗？肯定有忘记的成分。最主要的原因是什么？原来是机械的模仿，简单的重复，没有理解，最后一综合，考查的是花束问题，甚至再多一步的问题。只能望洋兴叹了。

理解有六个侧面，会解释、会阐明、会应用、会洞察、会神入、会自知。

什么才是理解呢？青岛版五年级下册《公因数和最大公因数》为例，我们来进入理解的远航。

1会解释

“解释”，汉语词语，读音为jiě shì，意思是在观察的基础上进行思考，合理地说明事物变化的原因，事物之间的联系，或者是事物发展的规律。出自《后汉书·陈元传》。

你能举例说明什么叫公因数，如何找？如何求最大公因数吗？为什么把这张长24厘米，宽18厘米的纸剪成整厘米数的正方形，剪完没有剩余，正方形的边长是几厘米，要求公因数来解决呢？

为什么短除法求出来的是最大公因数？

学习公因数和最大公因数有什么用？

学生应该运用证据证明自己的结论，数学是讲道理的！

这就是用证据来证明自己的结论，应用到了情境中去。555SS

2会阐明

解释的是现象，阐明的是意义，是暗含的东西。

模型一，24个和18个方块，24个可以排成1行、2行、3行、4行、6行、8行、12行、24行，而18个可以排成1行、2行、3行、6行、9行、18行。24和18都可以排成1行、2行、3行、6行。1、2、3、6就是24和18的公因数，其中最多能排成6行，6就是这两个数的最大公因数。

这个模型就可以阐明公因数和最大公因数的意义。

3会应用

学情：之前理解因数不够多元，为了本课的快速进入，建议课前先攻关一下：

一束百合花12朵，要平均分别插入花瓶，没有剩余。有几种插法？一束玫瑰花16朵，要平均分别插入花瓶，没有剩余。有几种插法？

1.筐内有96个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？

2、(1996年日本算术奥林匹克竞赛) 有50张卡片，分别写着1- 50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝，某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面朝上摆在桌子上.对同学们说：“请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片.规则是:凡是卡片上的数是自己学号的倍数,就把它翻过来，蓝翻红,红翻蓝"，那么当每个同学都翻完后，红色朝上的卡片有几张?

1.有4个小朋友，他们的年龄恰好一个比一-个大1岁，并且他们年龄的乘积是360，那么其中年龄最大的一个是多少岁？

2.某班王老师带领全班同学去植树.学生恰好平均分成三组.如果者师与同学每人植树一样多. 共植树572棵，那么这个班有学生多少人，每人植树多少棵？

从生活中发现数学的应用或者从应用中找出对应的抽象出来的数学知识，去发现公因数与最大公因数的意义题目中的深刻含义。

4.会洞察。

短除法、辗转相除法、更相减损法背后的本质是什么？

列举法和筛选法找最大公因数的方法是一一列举的应用，这种思想在小学阶段的应用是非常广泛的。好处是不重复、不遗漏。

分解质因数和短除法的本质是一样的，都是先分解质因数再提取公共的因数。因为短除法可以同时求，更简便。

更相减损术和辗转相除法一个用到了除，一个用到了减。

从算法思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，相比之下，辗转相除法的时间复杂度稳定。

本质是两个数的公因数，也是两个数的差的及和的公因数。这两个数是M的倍数，这两个数的差也是M的倍数。

去掉相同的倍数后，剩下的也是这个数的倍数。

如果孩子们可以发现短除法的原理，为什么这样就可以求出最大公因数，为什么用左侧的因数乘起来？为什么要约到只有1和自己本身两个因数时为止。

5会神入

老师从学生角度去思考问题，学生从对方的角度思考问题。

6会自知

自己的方法有什么优点或缺点，有自知之明。