高斯定理

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平面、球、圆柱带电体的场强：高斯定理

知识点

电通量
高斯定理
- 高斯面
- 矢量积分转化为标量积分
- $Q_内$
平面对称的电场
球对称带电体的电场
- (a)做通过某场点的同心球面作为高斯面，随后将对该面应用高斯定理： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ；
- (b)公式中 $Q_{\text{内}}$ 是指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中，往往需要借助电荷密度来求解。
- (c) 设该场点的电场强度，大小为 $E$ ，则该面的电通量必然为 $E\cdot4\pi r^{2}$ ，其中 $4\pi r^{2}$ 是高斯球面的面积。
- (d)于是得到核心方程： $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可。
轴对称带电体的电场
- (a)通过该场点做同轴圆柱作为高斯面，随后将对该面应用高斯定理： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ；
- (b)公式中 $Q_{\text{内}}$ 是指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中，往往需要借助电荷密度来求解。
- (c) 设该场点的电场强度，大小为 $E$ ，则该面的电通量必然为 $E\cdot2\pi rh$ ，其中 $2\pi rh$ 是高斯面(圆柱)的侧面积。
- (d)于是得到核心方程： $E\cdot2\pi rh=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可。

表达题

一个非闭合面的电通量，其直观物理意义是贯穿某个面(比如一张纸，一面是红色，一面是黑色)的电场线的条数。注意，这里的贯穿，是指的从一面红色，从黑色穿出；即：电场线必须跟那张纸发生“交叉”，而不能是平行。则在匀强电场( $E$ )中，如图所示的半径为 $R$ ，高度为 $H$ 的半圆筒，圆筒的轴线与电场线平行。则其电通量为( )

解答： $0$

一个闭合面的电通量，其直观物理意义是穿出、穿入它的电场线的次数。注意，穿出为正贡献、穿入为负贡献。则如图所示，,则其电通量为( )

解答： $0$

匀强电场中，平面的电通量的计算式为：

$Φ_e=ESsin\theta$

电通量的积分表达式为：

$Φ_e=\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$

高斯定理的公式是 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$ 。如图所示有三个点电荷，分别为 $q_{1},q_{2},q_{3}$ 。我们画一个封闭的曲面，将 $q_{1},q_{2}$ 围在里面，而让 $q_{3}$ 呆在该封闭曲面的外围。在此情形下，请分析高斯定理中的各项。

解答：封闭曲面的通量跟内部电荷有关，跟外电荷无关。
$Q=q_1+q_2$ 。
根据场强叠加原理，任一点的 $\vec{E}$ 跟内外电荷都有关。

所有无限大的均匀带电的平面或平板，以及由它们彼此平行合成的各种组合体，均简称“平面带电体”。画图描述这类带电体的场强特征：

解答：场强具有对称性，场强方向垂直于带点平面（板），平行于该平面（板）的平面上的场强大小相等。

QQ图片20190410171033.png

任何无限大均匀带电平板，做图示的高斯面，则其通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 计算出来必然为

解答： $2E\Delta S$

“平板带电体”求电场 $\vec{E}$ 的思路是：(a)通过某场点，在平板两边对称地做一个圆柱型表面作为高斯面，随后将对该面应用高斯定理： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ；
(b)公式中 $Q_{\text{内}}$ 指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中，往往需要借助电荷密度来求解。
(c) 设该场点的电场强度，大小为 $E$ ，则该面的电通量必然为 $2ES$ ，其中 $S$ 是圆柱型表面的底面积。
(d)于是得到核心方程： $2ES=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可。
现在有一个均匀带电的平板，电量体密度为 $\rho$ ，平板的厚度是 $D$ 。我们想求出该平板外部，距离中心为 $x$ 处的场点的电场( $x>D/2$ )。我们过该点，做图示的高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：

解答： $2E\Delta S=\frac{\rho D}{\varepsilon_0}\Delta S$

现在有一个均匀带电的平板，电量体密度为 $\rho$ ，平板的厚度是 $D$ 。我们想求出该平板内部，距离中心为 $x$ 处的场点的电场( $x$ < $D/2$ )。我们过该点，做图示的高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：

解答： $2E\Delta S=\frac{\rho 2x}{\varepsilon_0}\Delta S$

无限大均匀带电平面，电荷面密度为 $\sigma$ ，则其电场为

解答： $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

组合带电体的场强请用叠加原理。考虑如图的“组合带电体”：由一个平面(电荷面密度 $\sigma$ )和一个平板(电荷体密度 $\rho$ )进行平行组合而成。则P点的场强为( )

解答： $E=E_1+E_2=\frac{\rho D}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\rho D+\sigma}{2\varepsilon_0}$

所有均匀带电的球体，球壳，球面，以及由它们合成的各种“同心”组合体，均叫做“球对称带电体”。请画图表示这类带电体的场强特征

提示：距离球心为 $r$ 的各点，场强的大小都相等，并且方向一定在径向(球心——场点连线方向)上。

某半径为 $R$ 的均匀带电实心球体，设某场点到球心的距离是 $r$ ，场强的大小是 $E$ 。现在做半径为 $r$ 的虚拟球面(高斯面)，则该面的电通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 为( )

解答： $4\pi R^2E$

现在有一个均匀带电的球壳，总电量为 $Q$ ，球壳的半径是 $R$ ，球壳厚度可以忽略。我们想求出该球壳内部，距离球心为 $r$ 的 $M$ 处的电场( $r<R$ )。我们过该点，做半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出电场来，观察其规律可能为：(请理解、归纳、记忆)
(5) 均匀带电的薄球壳，内部场强为零。
(6) 均匀带电的薄球壳，内部场强不为零。
进而借助叠加原理思考：有厚度的空心带电球体，空腔里的场强为
(7) 零。
(8) 不一定。
则正确的是( )

解答：(1)(5)(7)

现在有一个均匀带电的球壳，总电量为 $Q$ ，球壳的半径是 $R$ ，球壳厚度可以忽略。我们想求出该球壳外部，距离球心为 $r$ 的 $N$ 处的电场( $r>R$ )。我们过该点，做半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出电场来，观察其规律可能为：(请理解、归纳、记忆)：均匀带电薄球壳的外部场强，( )等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
(5) 能
(6) 不能
进而借助叠加原理思考：有厚度的空心带电球体，球外的场强，( )等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
(7) 能
(8) 不能。
则正确的是( )

解答：(1)(5)(7)

现在有一个均匀带电的球体，总电量为 $Q$ ，球的半径是 $R$ 。我们想求出该球体外部，距离球心为 $r$ 的 $N$ 处的电场( $r>R$ )。我们过该点，做半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出电场来，观察其规律可能为：(请理解、归纳、记忆)
(5) 均匀带电球体的外部场强，等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。

(6) 均匀带电球体的外部场强，不等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。

则正确的是( )

解答：(1)(5)

现在有一个均匀带电的球体，总电量为 $Q$ ，球的半径是 $R$ 。我们想求出该球体内部，距离球心为 $r$ 的 $M$ 处的电场( $r<R$ )。我们过该点，做半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ , $Q_{\text{内}}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\cdot(\frac{r}{R})^{3}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r}{\epsilon_{0}R}$
结合以上求解过程知，均匀带电球体内部某场点的场强，可等效为( _ )集中到球心时产生的电场。(请理解、归纳、记忆)
(5) 所有电荷。
(6) 高斯面内所有电荷。
则正确的是( )

解答：(1)(6)

组合带电体的场强请用叠加原理。在上面几道题中，我们总结归纳了几条直观经验，具体地：
(1) 均匀带电的薄球壳，内部场强为零。
(2) 均匀带电薄球壳的外部场强，等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
(3) 均匀带电球体的外部场强，等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
(4)均匀带电球体的内部某场点的场强，可等效为高斯面内所有电荷集中到球心时产生的电场。
结合以上四点，考虑如图的“组合带电体”：由一个实心带电球体和一个空心带电球壳进行同心组合而成。其中，实心球体电量为 $Q_{1}$ ，球壳电量为 $Q_{2}$ 。应用点电荷公式和叠加原理，得带电体外部场点 $M$ 处的电场大小为：

解答：(1) , $E=\frac{Q_1+Q_2}{\epsilon_{0}4\pi r^{2}}$

结合以上四点，考虑如图的“组合带电体”：由一个实心带电球体和一个空心带电球壳进行同心组合而成。其中，实心球体电量为 $Q_{1}$ ，球壳电量为 $Q_{2}$ 。应用点电荷公式和叠加原理，得空腔中场点 $P$ 处电场大小为：

解答： $E=\frac{Q_1-Q_2}{\epsilon_{0}4\pi r^{2}}$

如图的“组合带电体”：由一个实心带电球体和一个空心带电球壳进行同心组合而成。其中，实心球体电量为 $Q_{1}$ ，球壳电量为 $Q_{2}$ 。应用点电荷公式和叠加原理，得球内部场点 $N$ 处的场强电场大小为 $E$ 为：

解答： $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ , $Q_{\text{内}}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\cdot(\frac{r}{R})^{3}$

所有无限长、均匀带电的细杆、空心圆筒、实心圆柱，以及由它们合成的各种“同轴”组合体，均叫做“圆柱型带电体”。请图示这类带电体的场强特征。

提示：距离轴线为 $r$ 的各点，场强的大小都相等，并且方向一定与轴线垂直。

QQ图片20190410173046.png

某圆柱型带电体(红色)，设某场点到轴线的距离是 $r$ ，场强的大小是 $E$ 。现在过该场点做一个高度为 $h$ 的虚拟圆柱(蓝色，高斯面)，则该面的电通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 为：( )

解答： $2\pi rhE$

现在有一个无限长、均匀带电的细棒，电荷线密度为 $\lambda$ 。我们想求出距离轴线(即细棒的中心线)为 $r$ 的 $M$ 处的电场。我们过该点，做高度为 $h$ 的同轴圆柱。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：

解答： $E=2\pi rh\lambda$

现在有一个无限长、均匀带电、半径为 $R$ 的圆柱体，电荷体密度为 $\rho$ 。我们想求出带电体外部、距离轴线(即圆柱的中心线)为 $r$ 的 $M$ 处的电场( $r>R$ )。我们过该点，做高度为 $h$ 的同轴圆柱面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程为：

解答： $2\pi rhE=\frac{\pi R^2h\rho}{\epsilon_0}$

现在有一个无限长、均匀带电、半径为 $R$ 的圆柱体，电荷体密度为 $\rho$ 。我们想求出圆柱带电体内部、距离轴线(即圆柱的中心线)为 $r$ 的 $M$ 处的电场( $r<R$ )。我们过该点，做高度为 $h$ 的同轴圆柱。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程为：

解答： $2\pi rhE=\frac{\pi r^2h\rho}{\epsilon_0}$

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