矩阵变换学习笔记

2019-01-03 本文已影响16人 BohrIsLay

二维矩阵变换：

我们把每个点坐标A(x, y)看成一个行向量a(x, y)，采用齐次坐标法，即每个顶点坐标增加一个相同的分量1作为矩阵的一行，即（x，y，1）

1.平移：

平移向量P为（a，b），点A（x，y）平移后变为A'（x + a， y + b）

点A的矩阵为[x， y， 1]，平移变换矩阵为
$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & 1 \end{matrix} \right]$

点A的矩阵乘以平移变换矩阵得到平移后的矩阵为

$\begin{matrix} A & 平移矩阵 & & 平移后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & 1 \\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x + a & y + b & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

2.旋转

旋转中心是坐标原点。旋转角度是β。
矩阵中的θ是图形绕坐标原点逆时针旋转的角度。
旋转变换矩阵
$\left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ & 0 \\ -sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$
点A的矩阵[x, y, 1]乘以旋转矩阵得到矩阵A'
$\begin{matrix} A & 旋转矩阵 & & 旋转后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} cosθ & sinθ & 0 \\ -sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} xcosθ - ysinθ & xsinθ + ycosθ & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

3.缩放

缩放中心是坐标原点，点(x,y)缩放到点(my,ny)，m、n是缩放因子。
缩放变换矩阵:
$\left[ \begin{matrix} m & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$
点A(x,y)，则点A的矩阵为[x， y ，1]；当点A的矩阵乘以缩放变换矩阵可以得到缩放后点的矩阵为：
$\begin{matrix} A & 旋转矩阵 & & 旋转后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} m & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} mx & ny & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

4.对称

（1）x轴对称

A（x，y） --> A'(x, -y)

对称矩阵

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

(2) y轴对称

A(x, y) --> A'(-x, y)
对称矩阵
$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

(3)原点对称

A(x, y) --> A'(-x, -y)
对称矩阵
$\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

5.错切变换

（1）图形关于X轴方向的错切变换，各点的纵坐标不变：
A(x, y) --> A'(x + cy , y)
关于X轴错切变换矩阵为：
$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ c & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

（2）图形关于Y轴方向的错切变换，各点的横坐标不变：
A(x, y) --> A'(x , y + cx)
关于X轴错切变换矩阵为：
关于Y轴错切变换矩阵为：
$\left[ \begin{matrix} 1 & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

6.组合变换

组合变换就是上面所介绍的平移变换，缩放变换，旋转变换，对称变换，错切变换的相互作用之后产生的变换。

所有的图形变换都是基本变换的组合，这样图形变换就容易多了

参考：
https://blog.csdn.net/a396901990/article/details/44905791

三维矩阵变换

对三维空间的点P＝[X Y Z]，采用规范齐次坐标则与二维情况类似

1.平移变换

平移向量P为（tx，ty，tz），点A（x，y，z）平移后变为A'（x + tx， y + ty，z + tz）
点A的矩阵为[x， y， z，1]，平移变换矩阵为
$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ tx & ty &tz & 1\\ \end{matrix} \right]$
点A的矩阵乘以平移变换矩阵得到平移后的矩阵为
$\begin{matrix} A & 平移矩阵 & & 平移后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ tx & ty & tz & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x + tx & y + ty & z + tz & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

2.旋转

矩阵中的θ是图形绕坐标轴逆时针旋转的角度。

(1)绕z轴旋转

A（x，y，z）旋转后变为A'（xcosθ - ysinθ， xsinθ + ycosθ， z）
旋转变换矩阵
$\left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ & 0 & 0\\ -sinθ & cosθ & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]$

点A的矩阵乘以旋转变换矩阵得到旋转后的矩阵为
$\begin{matrix} A & 绕z轴旋转矩阵 & & 旋转后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} cosθ & sinθ & 0 & 0\\ -sinθ & cosθ & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} xcosθ - ysinθ & xsinθ + ycosθ & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

（2）绕x轴旋转

A（x，y，z）旋转后变为A'（x， ycosθ - zsinθ， ysinθ + zcosθ）
旋转变换矩阵
$\left[ \begin{matrix} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & cosθ & sinθ & 0\\ 0 & -sinθ & cosθ& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]$
点A的矩阵乘以旋转变换矩阵得到旋转后的矩阵为
$\begin{matrix} A & 绕z轴旋转矩阵 & & 旋转后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & cosθ & sinθ & 0\\ 0 & -sinθ & cosθ& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & ycosθ - zsinθ & ysinθ + zcosθ & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

（3）绕y轴旋转

A（x，y，z）旋转后变为A'（xcosθ + zsinθ，y， zcosθ - xsinθ）
旋转变换矩阵
$\left[ \begin{matrix} cosθ& 0 & -sinθ & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ sinθ & 0& cosθ& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]$
点A的矩阵乘以旋转变换矩阵得到旋转后的矩阵为
$\begin{matrix} A & 绕y轴旋转矩阵 & & 旋转后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} cosθ& 0 & -sinθ & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ sinθ & 0& cosθ& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} xcosθ + zsinθ & y & zcosθ - xsinθ & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

3.缩放

（1）局部缩放

相对坐标原点的比例变换
A（x，y，z）旋转后变为A'（xSx， ySy， zSz）, Sx, Sy, Sz为缩放因子
缩放变换矩阵
$\left[ \begin{matrix} Sx& 0 & 0 & 0\\ 0 & Sy & 0 & 0\\ 0 & 0& Sz& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]$

点A的矩阵乘以缩放变换矩阵得到旋转后的矩阵为
$\begin{matrix} A & 缩放矩阵 & & 缩放后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} Sx& 0 & 0 & 0\\ 0 & Sy & 0 & 0\\ 0 & 0& Sz& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} xSx & ySy & zSz & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

（2）整体缩放

缩放矩阵为
$\left[ \begin{matrix} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & s\\ \end{matrix} \right]$
点A的矩阵乘以缩放变换矩阵得到旋转后的矩阵为
$\begin{matrix} A & 缩放矩阵 & & 缩放后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & s\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x/s & y/s & z/s & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

4.对称变换

（1）关于对称平面变换

1.1关于xoy平面对称变换

$\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} A & 变换矩阵 & & 变换后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

1.2关于xoz平面对称变换

$\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & -y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} A & 变换矩阵 & & 变换后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & -y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

1.3关于yoz平面对称变换

$\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} A & 变换矩阵 & & 变换后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

(2)关于对称轴变换

2.1关于x轴对称变换

$\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & -y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} A & 变换矩阵 & & 变换后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} x & -y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

2.2关于y轴对称变换

$\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} A & 变换矩阵 & & 变换后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& -1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & y & -z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

2.3关于z轴对称变换

$\begin{matrix} \left[\begin{array}{rr} x' & y' & z' & 1 \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & -y & 1z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} T & = & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \end{matrix}$

$\begin{matrix} A & 变换矩阵 & & 变换后的矩阵A'\\ \left[\begin{array}{rr} x & y & z & 1 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{rr} -1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rr} -x & -y & z & 1 \end{array}\right] \end{matrix}$

三维变换矩阵的功能分块

$\left[ \begin{array}{ccc|c} a11& a21 & a31 & Px\\ a12 & a22 & a32 & Py\\ a13 & a23& a33& Pz\\ \hline tx & ty & tz & s\\ \end{array} \right]$
左下角三维平移变换部分，左上角三维线性变换部分，右上角透视变换部分，右下角整体比例因子

任何三维变换都可以转换为基本三维变换的组合
比如绕任意轴旋转，可通过平移，旋转等基本三维变换转换为绕某坐标轴旋转；

参考：
https://blog.csdn.net/piaoxuezhong/article/details/70171525

矩阵变换学习笔记

二维矩阵变换：

1.平移：

2.旋转

3.缩放

4.对称

（1）x轴对称

(2) y轴对称

(3)原点对称

5.错切变换

6.组合变换

三维矩阵变换

1.平移变换

2.旋转

(1)绕z轴旋转

（2）绕x轴旋转

（3）绕y轴旋转

3.缩放

（1）局部缩放

（2）整体缩放

4.对称变换

（1）关于对称平面变换

1.1关于xoy平面对称变换

1.2关于xoz平面对称变换

1.3关于yoz平面对称变换

(2)关于对称轴变换

2.1关于x轴对称变换

2.2关于y轴对称变换

2.3关于z轴对称变换

三维变换矩阵的功能分块

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