高中数学纲目

函数与导数客观题：新高考数学全国卷题12

2022-06-29 本文已影响0人易水樵

新高考数学全国卷题12

过平面内一点 $P$ 作曲线 $y= |\ln x|$ 的两条互相垂直的切线 $l_1,l_2$ , 切点为 $P_1,P_2$ （ $P_1,P_2$ 不重合），设直线 $l_1,l_2$ 分别与 $y$ 轴交于点 $A,B$ ，则下列结论正确的是

A. $P_1,P_2$ 两点的横坐标之积为定值

B. 直线 $P_1P_2$ 的斜率为定值;

C. 线段 $AB$ 的长度为定值

D. 三角形 $\triangle ABP$ 面积的取值范围为 $(0,1]$

【解析】

$y= |\ln x|$ 是一个分段函数：

$x \in (0,1), y = - \ln x, \;y'= - \dfrac{1}{x}$ ;

$x \in (1,+\infty), y = \ln x,\; y'=\dfrac{1}{x}$ ;

不妨设 $P_1,P_2$ 分别为 $l_1,l_2$ 上的切点，记切点坐标为 $P_1(x_1, -\ln x_1), \; P_2(x_2, \ln x_2)$ ;

∵ 两条切线互相垂直， ∴ $- \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} = -1$ ,

$x_1 x_2 =1$

所以，选项 A 正确；

∵ $x_1 x_2 =1$ ,

∴ $-\ln x_1 = \ln x_2$ ,

∴ 直线 $P_1P_2$ 的斜率为 $0$ ,

选项 B 正确；

曲线 $y= |\ln x|$ 有一个特殊点 $(1,0)$ , 若 $x_1=x_2$ ，则 $P_1,P_2, P$ 三点重合，相应的， $k_1=-1, k_2=1$ ;

此时， $|AB|=2$ , $\triangle PAB$ 是等腰直角三角形，且 $S_{\triangle PAB} = 1$ .

当 $P_1,P_2$ 不重合时有： $0 \lt x_1 \lt 1 \lt x_2$

切线 $l_1$ 的方程为 $y=-\dfrac{1}{x_1}(x-x_1) - \ln x_1$ ,

切线 $l_2$ 的方程为 $y=-\dfrac{1}{x_1}(x-x_2) - \ln x_2$ ,

$y_{_A}=1-\ln x_1$ ,

$y_{_B}=-1+\ln x_2$ ,

$|y_{_A} - y_{_B} | = 2$ .

∴ 选项 C 正确；

$x_1$ 与 $x_2$ 互为倒数， $x_1 \rightarrow0, x_2 \rightarrow +\infty$ ,

$x_2$ 不断增大，则切线 $l_2$ 的倾角趋近于 $0$ ;

切线 $l_2$ 与 $y$ 轴的夹角趋近于 $90°$ ，

记此夹角为 $\beta$ , 则 $S_{\triangle PAB} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \sin\beta\cdot 2\cos\beta=\sin2\beta$

所以， $x_1 \rightarrow0, x_2 \rightarrow +\infty,\; S_{\triangle PAB}\rightarrow 0$ ,

选项 D 正确.

结论：ABCD 都是正确选项.

【提炼与提高】

难度不高，工作量加大。

数形结合，要求考生灵活处理。

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