第十一届蓝桥杯模拟赛（二）
1、问题描述
在计算机存储中，12.5MB是多少字节？
答案：13107200
算法分析
1MB = 1024KB,1KB = 1024B，所以12.5MB = 12.5 * 1024 * 1024 = 12800KB * 1024 = 13107200 B
2、问题描述
由1对括号，可以组成一种合法括号序列：()。
由2对括号，可以组成两种合法括号序列：()()、(())。
由4对括号组成的合法括号序列一共有多少种？
答案：14
算法分析
典型的卡特兰数问题，左边括号的个数一定大于等于右边括号的个数
Java 代码
public class Main {
static int ans = 0;
static void dfs(int l,int r,int n)
{
if(l == n && r == n)
{
ans ++;
return ;
}
if(l < n)
dfs(l + 1,r,n);
if(r < l)
dfs(l,r + 1,n);
}
public static void main(String[] args) {
int n = 4;
dfs(0,0,n);
System.out.println(ans);
}
}
Java 代码（所有情况输出出来）
public class Main {
static int ans = 0;
static void dfs(int l,int r,int n,String s)
{
if(l == n && r == n)
{
ans ++;
System.out.println(s);
return ;
}
if(l < n)
dfs(l + 1,r,n,s + "(");
if(r < l)
dfs(l,r + 1,n,s + ")");
}
public static void main(String[] args) {
int n = 4;
dfs(0,0,n,"");
System.out.println(ans);
}
}
3、问题描述
一个包含有2019个结点的无向连通图，最少包含多少条边？
答案：2018
算法分析
n个结点的无向连通图最少需要n - 1条边
4、问题描述
将LANQIAO中的字母重新排列，可以得到不同的单词，如LANQIAO、AAILNOQ等，注意这7个字母都要被用上，单词不一定有具体的英文意义。
请问，总共能排列如多少个不同的单词。
答案：2520
算法分析
对7个字母进行全排列得7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040，由于A出现了2次，因此需要除掉2！，得5040 / 2 = 2520
5、问题描述（凯撒密码）
给定一个单词，请使用凯撒密码将这个单词加密。
凯撒密码是一种替换加密的技术，单词中的所有字母都在字母表上向后偏移3位后被替换成密文。即a变为d，b变为e，...，w变为z，x变为a，y变为b，z变为c。
例如，lanqiao会变成odqtldr。
输入格式
输入一行，包含一个单词，单词中只包含小写英文字母。
输出格式
输出一行，表示加密后的密文。
样例输入
lanqiao
样例输出
odqtldr
评测用例规模与约定
对于所有评测用例，单词中的字母个数不超过100。
算法分析
模拟
假设t = g[idx] + 3，表示该字符向后移动3位的值，若该值比'z'小直接转换，否则判断g[idx] 是等于'x'，'y'，'z'中的哪一个，映射成'a','b','c'
时间复杂度)
Java 代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static char[] g;
static void change(int idx)
{
int t = g[idx] + 3;
if(t <= 'z')
{
g[idx] = (char)t;
}
else
{
if(g[idx] == 'x') g[idx] = 'a';
if(g[idx] == 'y') g[idx] = 'b';
if(g[idx] == 'z') g[idx] = 'c';
}
}
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
g = scan.next().toCharArray();
for(int i = 0;i < g.length;i ++)
{
change(i);
}
System.out.println(String.valueOf(g));
}
}
6、问题描述（反倍数）
给定三个整数 a, b, c，如果一个整数既不是 a 的整数倍也不是 b 的整数倍还不是 c 的整数倍，则这个数称为反倍数。
请问在 1 至 n 中有多少个反倍数。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 n。
第二行包含三个整数 a, b, c，相邻两个数之间用一个空格分隔。
输出格式
输出一行包含一个整数，表示答案。
样例输入
30
2 3 6
样例输出
10
样例说明
以下这些数满足要求：1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29。
评测用例规模与约定
对于 40% 的评测用例，1 <= n <= 10000。
对于 80% 的评测用例，1 <= n <= 100000。
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000000，1 <= a <= n，1 <= b <= n，1 <= c <= n。
算法分析
从1枚举到n，判断每个数是否符合条件即可
时间复杂度
Java 代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int a = scan.nextInt();
int b = scan.nextInt();
int c = scan.nextInt();
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
if(i % a != 0 && i % b != 0 && i % c != 0)
ans ++;
}
System.out.println(ans);
}
}
7、问题描述（螺旋矩阵）
对于一个 n 行 m 列的表格，我们可以使用螺旋的方式给表格依次填上正整数，我们称填好的表格为一个螺旋矩阵。
例如，一个 4 行 5 列的螺旋矩阵如下：
1 2 3 4 5
14 15 16 17 6
13 20 19 18 7
12 11 10 9 8
输入格式
输入的第一行包含两个整数 n, m，分别表示螺旋矩阵的行数和列数。
第二行包含两个整数 r, c，表示要求的行号和列号。
输出格式
输出一个整数，表示螺旋矩阵中第 r 行第 c 列的元素的值。
样例输入
4 5
2 2
样例输出
15
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，2 <= n, m <= 20。
对于 70% 的评测用例，2 <= n, m <= 100。
对于所有评测用例，2 <= n, m <= 1000，1 <= r <= n，1 <= c <= m。
算法分析
模拟
类似点蚊香这么走，先又，后下，后左，后上
时间复杂度)
Java 代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int N = 1010;
static int[][] a = new int[N][N];
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int m = scan.nextInt();
int row = scan.nextInt();
int col = scan.nextInt();
int k = 1,i = 1,j = 1;
a[1][1] = 1;
while(k != n * m)
{
//向右走
while(j < m && a[i][j + 1] == 0)
{
j ++;
a[i][j] = ++ k;
}
//向下走
while(i < n && a[i + 1][j] == 0)
{
i ++;
a[i][j] = ++ k;
}
//向左走
while(j > 1 && a[i][j - 1] == 0)
{
j --;
a[i][j] = ++ k;
}
//向上走
while(i > 1 && a[i - 1][j] == 0)
{
i --;
a[i][j] = ++ k;
}
}
System.out.println(a[row][col]);
}
}
8、问题描述（摆动序列）
如果一个序列的奇数项都比前一项大，偶数项都比前一项小，则称为一个摆动序列。即 a[2i]<a[2i-1], a[2i+1]>a[2i]。
小明想知道，长度为 m，每个数都是 1 到 n 之间的正整数的摆动序列一共有多少个。
输入格式
输入一行包含两个整数 m，n。
输出格式
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。
样例输入
3 4
样例输出
14
样例说明
以下是符合要求的摆动序列：
2 1 2
2 1 3
2 1 4
3 1 2
3 1 3
3 1 4
3 2 3
3 2 4
4 1 2
4 1 3
4 1 4
4 2 3
4 2 4
4 3 4
评测用例规模与约定
对于 20% 的评测用例，1 <= n, m <= 5；
对于 50% 的评测用例，1 <= n, m <= 10；
对于 80% 的评测用例，1 <= n, m <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n, m <= 1000。
算法分析
image.png
时间复杂度
Java 代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int N = 1010;
static int mod = 10000;
static int[][] f = new int[N][N];
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int m = scan.nextInt();
int n = scan.nextInt();
for(int i = 1;i <= n;i ++) f[1][i] = 1;
for(int i = 2;i <= m;i ++)
{
if(i % 2 == 0)
{
for(int j = n;j >= 1;j --)
f[i][j] = (f[i - 1][j + 1] + f[i][j + 1]) % mod;
}
else
{
for(int j = 1;j <= n;j ++)
f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i][j - 1]) % mod;
}
}
long res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i ++) res = (res + f[m][i]) % mod;
System.out.println(res);
}
}
9、问题描述（植树）
小明和朋友们一起去郊外植树，他们带了一些在自己实验室精心研究出的小树苗。
小明和朋友们一共有 n 个人，他们经过精心挑选，在一块空地上每个人挑选了一个适合植树的位置，总共 n 个。他们准备把自己带的树苗都植下去。
然而，他们遇到了一个困难：有的树苗比较大，而有的位置挨太近，导致两棵树植下去后会撞在一起。
他们将树看成一个圆，圆心在他们找的位置上。如果两棵树对应的圆相交，这两棵树就不适合同时植下（相切不受影响），称为两棵树冲突。
小明和朋友们决定先合计合计，只将其中的一部分树植下去，保证没有互相冲突的树。他们同时希望这些树所能覆盖的面积和（圆面积和）最大。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 n ，表示人数，即准备植树的位置数。
接下来 n 行，每行三个整数 x, y, r，表示一棵树在空地上的横、纵坐标和半径。
输出格式
输出一行包含一个整数，表示在不冲突下可以植树的面积和。由于每棵树的面积都是圆周率的整数倍，请输出答案除以圆周率后的值（应当是一个整数）。
样例输入
6
1 1 2
1 4 2
1 7 2
4 1 2
4 4 2
4 7 2
样例输出
12
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 20；
对于所有评测用例，1 <= n <= 30，0 <= x, y <= 1000，1 <= r <= 1000。
算法分析
dfs每一种情况，枚举到当前的圈圈，有选和不选两种情况，当当前圈圈和前面选了的圈圈没有重复的面积，则可以选，也可以选择不选，最坏的情况是所有圈圈都能选，则要运行2^30 = 10^9次，check函数还需要额外遍历u次，分分钟有gg的风险，如果有冲突的圈圈则可以进行剪枝，可以降低次数
时间复杂度
不好分析，存在的上限
Java 代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int N = 35;
static int n;
static int[] x = new int[N];
static int[] y = new int[N];
static int[] r = new int[N];
static int ans = Integer.MIN_VALUE;
static boolean[] st = new boolean[N];
static boolean check(int u)
{
for(int i = 0;i < u;i ++)
{
if(st[i])
{
int d = (x[i] - x[u]) * (x[i] - x[u]) + (y[i] - y[u]) * (y[i] - y[u]);
if((r[i] + r[u]) * (r[i] + r[u]) > d) return false;
}
}
return true;
}
static void dfs(int u,int sum)
{
if(u == n)
{
ans = Math.max(ans, sum);
return ;
}
//选
if(check(u))
{
st[u] = true;
dfs(u + 1,sum + r[u] * r[u]);
st[u] = false;
}
//不选
dfs(u + 1,sum);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
n = scan.nextInt();
for(int i = 0;i < n;i ++)
{
x[i] = scan.nextInt();
y[i] = scan.nextInt();
r[i] = scan.nextInt();
}
dfs(0,0);
System.out.println(ans);
}
}
10、问题描述（通电）
2015年，全中国实现了户户通电。作为一名电力建设者，小明正在帮助一带一路上的国家通电。
这一次，小明要帮助 n 个村庄通电，其中 1 号村庄正好可以建立一个发电站，所发的电足够所有村庄使用。
现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，小明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。
小明测量了所有村庄的位置（坐标）和高度，如果要连接两个村庄，小明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上高度差的平方，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) 高度为 h_1 的村庄与坐标为 (x_2, y_2) 高度为 h_2 的村庄之间连接的费用为
sqrt((x_1-x_2)(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。
在上式中 sqrt 表示取括号内的平方根。请注意括号的位置，高度的计算方式与横纵坐标的计算方式不同。
由于经费有限，请帮助小明计算他至少要花费多少费用才能使这 n 个村庄都通电。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 n ，表示村庄的数量。
接下来 n 行，每个三个整数 x, y, h，分别表示一个村庄的横、纵坐标和高度，其中第一个村庄可以建立发电站。
输出格式
输出一行，包含一个实数，四舍五入保留 2 位小数，表示答案。
样例输入
4
1 1 3
9 9 7
8 8 6
4 5 4
样例输出
17.41
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000，0 <= x, y, h <= 10000。
算法分析
稠密图求最小生成树问题，prim算法，先求出每个点都其他点的距离，跑一遍prim
注意：花费是Math.sqrt(x * x + y * y ) + z * z，特别注意
时间复杂度
Java 代码
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;
public class Main {
static int N = 1010;
static int n;
static int INF = 0x3f3f3f3f;
static double[][] g = new double[N][N];
static int[] a = new int[N];
static int[] b = new int[N];
static int[] c = new int[N];
static double[] dist = new double[N];
static boolean[] st = new boolean[N];
static double get(int i,int j)
{
int x = a[i] - a[j];
int y = b[i] - b[j];
int z = c[i] - c[j];
return Math.sqrt(x * x + y * y ) + z * z;
}
static double prim()
{
Arrays.fill(dist, INF);
double res = 0;
for(int i = 0;i < n;i ++)
{
//找最近点
int t = -1;
for(int j = 1;j <= n;j ++)
{
if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
t = j;
}
//标记
st[t] = true;
if(i != 0) res += dist[t];
//更新
for(int j = 1;j <= n;j ++)
{
dist[j] = Math.min(dist[j], g[t][j]);
}
}
return res;
}
public static void main(String[] args) throws IOException{
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
n = Integer.parseInt(br.readLine());
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
String[] s1 = br.readLine().split(" ");
int x = Integer.parseInt(s1[0]);
int y = Integer.parseInt(s1[1]);
int z = Integer.parseInt(s1[2]);
a[i] = x;
b[i] = y;
c[i] = z;
}
for(int i = 1;i <= n;i ++)
for(int j = i + 1;j <= n;j ++)
{
double d = get(i,j);
g[i][j] = g[j][i] = d;
}
System.out.printf("%.2f",prim());
}
}
