从三角形看整数的拆分

      最近的三角形学习中有这样一类题目：

      已知一个三角形的周长为9，且三边长都为整数，那么这个三角形的三边长可能为多少？

      这个问题可以直接用整数的拆分来解决。小学一年级学过的9可以分成1和8，就可以分成2和7，这其实就是一种整数的拆分，只不过三角形这里是要分成三边，也就是要拆分成三个整数的和。那么我们就必须要按照一定的顺序来拆分了，不然很容易产生遗漏。还是用一年级的拆分来说，如果我们拆分9，可以分成1和8，2和7，3和6，4和5，这样，前面那个数每次加1。按照这样的顺序，不容易遗漏。如果先写3和6，然后是1和8这样没有顺序，就很容易遗漏。

      那么拆分三个数怎么才有顺序呢？一样的，我们可以从第一个分出来的数是1开始列举，并且保证后面一个分出来的数一定不比前一个数小，那么这样既不容易遗漏，也不容易重复。我们先从1开始：

1——1——7

1——2——6

1——3——5

1——4——4

      这样，1开头的就列举完了，因为再往下是1——5——3，最后一个数比第二个数小，明显就和1——3——5重复了，所以我们就不往下写了。借着写2开头的：

2——2——5

2——3——4

      这样2开头的就列举完了，因为再往下，2——4——3，又会让最后一个数小于第二个数，肯定就会重复。这里值得注意的是，如果第一个数是2，那么第二个数至少也得是2，如果写2——1——6，让第二个数小于第一个数，又会重复了。我们接着写3开头的：

3——3——3

      3开头的只有这么一个，并且也是所有拆分方法的最后一个。因为再往后4开头的话，4——4——1，怎么都会让后面的数小于前面的数。

      综合一下，我们已经找出了把9拆分为三个整数的7种方法，那是不是这样就结束了呢？当然没有，三角形三边长肯定是有要求的，不是随便三条边都能构成三角形。引用上次我关于三角形三边长的一个简便结论：

三条线段中较短的两条之和大于第三条，那么这三条线段一定能构成三角形。

      因为我们在拆分的时候，已经保证了后面的数不比前面的数小，所以我们只需要把前面两个数加起来，如果和比第三个数大，就能构成三角形，否则，就不能。这样一验证，就只有下面3种拆分符合要求了：

1——4——4

2——3——5

3——3——3

      这样，我们就得到了文章开始那道题目的正确答案。

      那么，是不是每个这样的题目都得用这个方法呢？如果给的拆分数比较大，那要写的拆分就太多了，能不能简单一些呢？

      当然可以简单一些！我们可以先从三角形的三边关系去分析，然后再去拆分，就能得到更简便的方法。

      我们前面说了，三条线段中较短的两条之和大于第三条，那么这三条线段一定能构成三角形。这样的话，也就是说，最长的那条线段一定小于较短的那两条线段的和。换一个说法，也就是最长的那条线段一定要小于三条线段的和的一半。这样的话，我们就能先对最长的那条线段作一些限定，减少我们的工作量。

      还是以文章开始的那道题举例。我们可以首先算出总长度的一半：

9➗2=4……1

      最长的那条线段既然要比三条线段的和的一半小，那么最大只能是4（这里我们就不再提三条边长度都为整数的要求了，直接默认为整数），因为总长的一半只比4多一点。既然最大是4，我们完全可以换一下思维去拆分9这个数，我们就以最大的数4开头来写，并且保证后面的每一个数都不大于前面的数。按照这个想法，我们可以写出：

4——4——1

4——3——2

3——3——3

      刚好三个，既没有多余的，也没有重复的。大家看看，是不是要简单很多。

      我们再以三角形的周长为10来试试。首先算出总长的一半：10➗2=5。从比总长的一半要小得知最长的边顶多是4，接着就可以拆分：

4——4——2

4——3——3

      这样，很快就完成了这一题。

      有时候，题目会告诉我们，这个三角形是一个等腰三角形，那么我们只需要从结果中找出有两条边相等结果就可以了。

      通过前面的分析过程，大家可以感受得到，我们有时候既要去分析一个题目，也要多方位思考，想想能不能有更简单的方法。因为很多时候，简单的方法更不容易出错，就像简算题出现计算错误更少一样。数学的魅力正在于此。

      最后，我们还是来一道题目，大家用上面的方法试试吧！

      已知一个三角形的周长为12，且三边长都为整数，那么这个三角形的三边长可能为多少？