级数知识点小结3-傅里叶级数

2020-11-20 本文已影响0人 Raow1

4. 傅里叶级数

3.1 三角级数

傅里叶级数是三角级数的一种，所以先从三角级数开始。

概念：形如 $\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos{nx}+b_n \sin{nx})$ 的级数，其中 $a_0,a_n,b_n(n=1,2,3,\cdots)$ 都是常数，称为三角级数。

三角函数系的正交性：三角函数系
$1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots$
中任意不同的两个函数的乘积在区间 $[-\pi , \pi]$ 上的积分等于零。

3.2 周期为 $2\pi$ 的函数展开成傅里叶级数

概念：如果 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，且能展开成上述三角级数，当
$\begin{align*} a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx \mathrm dx & (n=0,1,2,3,\cdots) \\ b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx \mathrm dx & (n=1,2,3,\cdots) \end{align*}$
积分都存在，这时它们定出的系数 $a_0,a_1,b_1,\cdots$ 叫做函数 $f(x)$ 的傅里叶系数，带入所得的三角级数叫做函数 $f(x)$ 的傅里叶级数。

收敛定理，狄利克雷充分条件：设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，如果它满足：

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
在一个周期内至多只有有限个极值点，

那么 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，并且当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$ ；当 $x$ 是 $f(x)$ 的间断点时，级数收敛于 $\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$ 。

周期延拓：把一个定义域为有限区间的函数拓展为周期函数，按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓。

正弦级数：奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数。
余弦级数：偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数。

奇（偶）延拓：设函数 $f(x)$ 定义在区间 $[0,\pi]$ 上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间 $(-\pi ,0)$ 内补充函数 $f(x)$ 的定义，得到定义在 $(-\pi , \pi]$ 上的函数 $F(x)$ ，使它在 $(-\pi , \pi)$ 上成为奇（偶）函数。按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇（偶）延拓。

3.3 一般周期函数展开成傅里叶级数

对周期为 $2l$ 的周期函数做变量代换 $z=\frac{\pi x}{l}$ 得到以下定理：

定理：设周期为 $2l$ 的周期函数 $f(x)$ 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos{\frac{n\pi x}{l}}+b_n \sin{\frac{n\pi x}{l}}) \quad (x \in C)$
其中
$\begin{align*} a_n &= \frac{1}{l} \int_{-l}^{l}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{l}} \mathrm dx & (n=0,1,2,\cdots) \\ b_n &= \frac{1}{l} \int_{-l}^{l}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{l}} \mathrm dx & (n=1,2,3,\cdots) \\ C &= \{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\} \end{align*}$

傅里叶级数的复数形式在此不做记录。

级数知识点小结3-傅里叶级数

4. 傅里叶级数

3.1 三角级数

3.2 周期为 $2\pi$ 的函数展开成傅里叶级数

3.3 一般周期函数展开成傅里叶级数

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