一题思考（12月30日）

本题是圆的压轴综合题，与相似有关。

首先阅读题目，分析题意。

直径AB垂直弦CD，可用垂径定理，AB=10，可知半径为5，CD=8，结合垂径定理，可知DE=CE=4，其实又可以联想，连接OD，则OE=3。

第（1），当DP=2时，PE=2+4=6，所以tan∠P可求，而要求AQ的长，想到AQ所在的RTABQ，因为AB=10，是否知道第二边，或某个角为特殊角，甚至知道某个的三角函数也行，发现有线索，于是可求；

第（2），第1问，求证∠ACQ=∠CPA，其实与第（1）题类似，难度不大，但是第2问，有点麻烦了。主要问题是y=怎么办？

于是，从线段之比去深入思考，

一般情况下，涉及到线段之比的可以想到哪些呢？首先，是相似三角形，其次，也可以想到平行线分线段成比例，当然也许还会想到等高三角形的面积之比等于底之比等，但是，相似三角形也好，平行也好，怎么出现呢？可能要作辅助线。同时，根据经验，也许或者最好还能够用上第1问的结论。

于是不妨由直径所对的圆周角是直角，所以连接BC，则∠BCA=90°，同时还可以求出BC=，AC=，同时，过点A作GA⊥CA交CQ的延长线于点G，则GA∥BC，，如何求AG呢。

不妨考虑RTGAC，AC已知，如果能知道某一个内角的三角函数，那么问题可解，而由第1问知道，∠ACQ=∠CPA，当PD=x时，tan∠PAC=，于是本题可解。

第（3），首先OF=1，其实有两种情况，F在点O的右侧或左侧，其次ACQ的面积和CDQ的面积其实不能直接发生联系，那么，面积之比可以怎么联想呢？一是相似三角形面积之比等于相似比的平方，二是同高三角形面积之比等于底之比，而既能相似，又能同高的其实只能找到一个三角形，那就是PDQ，PDQ∽ACQ，PDQ与CDQ同高，于是本题可解。