线性方程组（七）- 线性无关

小结

1. 向量组的线性无关
2. 矩阵各列的线性无关
3. 一个或两个向量的集合的线性无关
4. 两个或多个向量的集合的线性无关

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向量组的线性无关

中一组向量{}称为线性无关的，若向量方程仅有平凡解。向量组（集）{}称为线性相关的，若存在不全为零的权，使方程成立。方程称为向量的一个线性相关关系，其中权不全为零。一组向量线性相关当且仅当它不是线性无关的。为简单起见，我们也可说线性相关，意思是向量组（集）{}是线性相关组。

设。确定向量组{}是否线性相关的。若线性相关，求出的一个线性相关关系。
解：行化简相应的增广矩阵：
～～
显然，和为基本变量，为自由变量。的每一个非零值确定一组非平凡解。因此，向量组{
}是线性相关的。
继续行化简增广矩阵并写出对应方程组的通解 ：

选择的一个非零值，比如，则，。
就是的一个线性相关关系。

矩阵各列的线性无关

设我们不考虑向量组而是考虑矩阵，矩阵方程可以写成。
的各列之间的每一个线性相关关系对应于方程的一个非平凡解。矩阵的各列线性无关，当且仅当方程仅有平凡解。

确定矩阵的各列是否线性无关。
解：为研究，把增广矩阵进行行化简：
～～
显然，，和为基本变量，无自由变量。因此方程仅有平凡解。的各列是线性无关的。

一个或两个向量的集合的线性无关

仅含一个向量（比如说）的集合线性无关当且仅当不是零向量。这是因为当时向量方程仅有平凡解。零向量时线性相关的，因为有许多非平凡解。

确定下列向量组是否线性无关。

1. ，
2. ，

解：

1. 注意是的倍数，即。因此，这表明{}线性相关。
2. 设和满足。若，则可用表示，即。这是不可能的，因为不是的倍数。故必是零。类似地也必是零。这表明{}是线性无关组。

两个向量的集合{}线性相关，当且仅当其中一个向量是两一个向量的倍数。这个集合线性无关，当且仅当其中任一个向量不是另一个向量的倍数。

从几何意义上看，两个线性相关，当且仅当它们落在通过原点的同一条直线上。

两个或更多个向量的集合的线性无关

定理 两个或更多个向量的集合{}线性相关，当且仅当中至少有一个向量是其他向量的线性组合。事实上，若线性相关，且，则某个是它前面向量的线性组合。

必要性：若中某个是其他向量的线性组合，那么把方程两边剪去就产生一个线性相关关系，其中的权为（-1）。
如，若，那么。

充要性：设线性相关。
若，则它是中其他向量的一个线性组合。即。
若，存在不全为0，使得。
设是使的最大下标。若，则。这是不可能的，因为。故j > 1。即，可得

定理 若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组线性相关。就是说，中任意向量组{}当线性相关。
因为未知量比方程多，必定有自由变量。

定理 若中向量组{}包含零向量，则它线性相关。
把这些向量重新编号，我们可设，于是方程。