地标性高考数学题高中数学纲目

初高中衔接讲座：维纳斯的身高

2022-04-18 本文已影响0人易水樵

$\boxed{\mathbb{Q30.}}$ 维纳斯的身高

2019年理数全国卷A题4

维纳斯

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ （ $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$ ，称之为黄金分割比例）。著名的断臂维纳斯便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 $105\,cm$ ，头顶至脖子下端的长度为 $26\,cm$ ，试估算其身高的范围。

提示：此题根据 2019年高考题改编。不过，解答此题所需要的知识，完全在初中的教学范围内。假如你感到有困难，可以在《数学：九年级上册》中查找解法。

【解】

$\varphi = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

$\varphi +1 = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

$\varphi (\varphi +1) =1$

$\dfrac{1}{\varphi} = 1+ \varphi$

$\varphi^2+\varphi-1=0$

$\varphi^2 = 1-\varphi$

头顶至肚脐的长度 : 肚脐至足底的长度之比是 = $\varphi$

身高 = 肚脐至足底的长度之比是 $\times (1+ \varphi )$

将已知条件中的腿长作为肚脐至足底的长度代入题中条件，则身高 = $105\times 1.618 \;cm \approx 170 \;cm$

另一方面，头顶至咽喉 : 咽喉至肚脐 = $\varphi$

头顶至肚脐 = 头顶至咽喉 $\times(1+\dfrac{1}{\varphi})$

身高 = 头顶至肚脐 $\times(1+\dfrac{1}{\varphi})$

身高 = 头顶至咽喉 $\times(1+\dfrac{1}{\varphi})^2$

身高 = 头顶至咽喉 $\times(2+\varphi)^2$

身高 = 头顶至咽喉 $\times(5+ 3 \varphi)$

将头顶至脖子下端的长度当作头顶至咽喉的距离代入，则

身高 = $(26\times 5 + 26 \times 3 \times 0.618) \;cm \approx 178\;cm$

结论：根据题设条件估算，此人身高介于 $170\;cm$ 至 $178\;cm$ 之间.

【提炼与提高】

2019年这个高考题很有名，让很多考生倍感挫折，无从下手.

其实，这个题并不难，也没有超纲. 黄金分割数 $\varphi$ 数学中的重要常数，人教版的《九年级数学上册》对这一常数作了介绍，抄录如下.

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