2.10 自由粒子与薛定谔方程 The free particl

2020-06-02 本文已影响0人莎野椰

https://www.youtube.com/watch?v=7KywkixHTvg&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=23&t=0s

前言

这节课讨论薛定谔方程如何作用在自由粒子上。
自由粒子：悬浮在三维空间中，没有固定运动方向，没有势能

1. 自由粒子薛定谔方程（TISE)

$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi(x)}{\partial x^2} + V(x) \Psi(x)= E\Psi(x)$
- 因为是自由粒子，所以 $V(x) = 0$
- 薛定谔方程变为
  $\frac{\partial^2 \Psi(x)}{\partial x^2} =-\frac{2mE}{\hbar^2}\Psi$
$\Rightarrow \frac{\partial^2 \Psi(x)}{\partial x^2} =-k^2\Psi$

where $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ 这里的K和2.9节的K不一样，这里的K是个常数。
得到薛定谔方程之后，如何求解呢？这里就顺便复习一下“二阶常系数齐次线性微分方程”的求解步骤：
$y^{''}+p \cdot y^{'} + p \cdot y = 0$

image.png

二阶常齐次微分方程解法

由此得到薛定谔方程的通解为：
$\Psi = A e^{-ikx} + B e^{ikx}$
将时间相关部分乘上去，得到时间相关的波函数：

$\Psi(x,t) = A e^{-ikx} e^{i\frac{Et}{\hbar}}+ B e^{ikx}e^{-i\frac{Et}{\hbar}}$

将 $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ 带入上式，替换E

$\Psi(x,t) = A e^{ik(x-\frac{\hbar k}{2m}t)}+ B e^{-ik(x-\frac{\hbar k}{2m}t)}$
接下来进入画图环节，如何画出这个波函数的图像呢？
- 如Lecture 2.1中的图像所示，时间薛定谔方程Time dependent SE的图像表现为，一个绕着复数坐标旋转的圆，随着t的增加以及欧拉公式变换得到的 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ：
  
  image.png
- 那么在此基础上如果加入x维度，就会变成下面的图像：
  
  image.png
- 那么波的传播方向是向哪的？
  这由 $x-\frac{\hbar k}{2m}t$ 参数决定，那么一定存在一点（黄色点）使得 $x-\frac{\hbar k}{2m}t=constant，这里以0为例$
  即 $x=\frac{\hbar k}{2m}t$ ,可见，在该点如果t增加的话，x也增加。所以随着时间的增加，波函数向着+x方向移动！
- 课外思考（无答案）
  
  image.png
求解波函数，照例需要知道边界条件边界条件？但是对于自由粒子而言
- 因为V(x)=0，粒子可以向任意方向移动
- 因此没有边界
- 因为能量E任意，所以可以得到任何常数k
- 此时波函数是连续不断，所以也就没有能量的量子化（能量是连续的）
那归一化条件满不满足呢？Normalization 正则化
- 如下图所示把波函数的平方积分，结果得到的是一个无穷大的数，所以无法归一化。
  
  image.png

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前言

1. 自由粒子薛定谔方程（TISE)

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