运用换元思想解三角恒等变换

2020-08-06 本文已影响0人天马无空

运用换元思想解三角恒等变换

三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

【方法点评】

方法一运用转化与化归思想

方法二运用函数方程思想

方法三运用换元思想

使用情景：一般三角函数类型

解题步骤：

第一步运用换元法将未知向已知转化；

第二步利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换；

第三步得出结论.

【例】若 $\sin \alpha +\sin \beta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $\cos \alpha +\cos \beta$ 的取值范围.
【答案】.
令 $\cos \alpha +\cos \beta=t$ ，

则 $(\sin \alpha +\sin \beta)^2+(\cos \alpha +\cos \beta)^2=t^2+\dfrac{1}{2}$

即 $2+2\cos(\alpha-\beta)=t^2+\dfrac{1}{2} \Rightarrow 2\cos(\alpha-\beta)=t^2-\dfrac{3}{2}$

$\therefore -2 \leqslant t^2-\dfrac{3}{2} \leqslant 2 \Rightarrow -\dfrac{1}{2} \leqslant t^2 \leqslant \dfrac{7}{2}$ ，

$\therefore -\dfrac{\sqrt{14}}{2} \leqslant t \leqslant \dfrac{\sqrt{14}}{2}$ ，

即 $-\dfrac{\sqrt{14}}{2} \leqslant \cos \alpha +\cos \beta \leqslant \dfrac{\sqrt{14}}{2}$

【总结】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子 $\cos \alpha +\cos \beta$ 看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围.

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