刷题记公式：2013年理数陕西卷题7

2022-05-12 本文已影响0人易水樵

设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$ ，若 $b \cos C + c \cos B = a \sin A$ ，则 $\triangle ABC$ 的形状为

（A）锐角三角形
（B）直角三角形
（C）钝角三角形
（D）不确定

【解析】

∵ $b \cos C + c \cos B = a$

代入已知条件可得：

$a = a \sin A$

∵ $a \gt 0$ ,

∴ $\sin A =1$

∴ $A = 90°$

结论：选项B正确.

除了以上方法，根据余弦定理来解答也是可以的。但是推导过程略长，有兴趣的读者可以自行尝试.

【提炼与提高】

本题难度不高，特别适合用作射影公式的加强练习.

射影公式可用文字表述如下：三角形任何一边的长等于另外两边在该边上的射影（可能为负）之和。

用公式表达如下：

$\boxed{a = b \cos C + c \cos B}$

$\boxed{b = a \cos C + c \cos A}$

$\boxed{c = a \cos B + b \cos A}$

牢记以上公式，很多问题都能得到迅速解决.

本题的推导过程中还涉及另外一个琐碎然而重要的事：三角形中， $a,b,c$ 三边长均为正值. 因此，在等式的两边同除以 $a$ ，等式依然成立.