多项式回归，方差和偏差

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前言

在之前的学习中，已经详细了解了正则化线性回归，方差和偏差的相关内容，在这个练习中，将会用python实现正则化线性回归并用它来研究不同的方差与偏差模型的相关属性。

正则化线性回归

问题引入：利用水库中水位的变化量来预测大坝中水的流出量，用变量 $x$ 表示水库中水位变化量的历史数据，而用变量 $y$ 表示大坝中水的流出量。

数据可视化
首先，按照之前介绍，将数据集分为以下三个部分：
1. 训练集，用来训练模型的数据，用 $X$ , $y$ 表示。
2. 交叉验证集，决定正则化的参数，用 $X_{val}$ , $y_{val}$ 表示。
3. 测试集，用来评估模型，用 $X_{test}, y_{test}$ 表示。

导入相关模块，和初始化数据之后，画出训练集的散点图如下所示：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.io as scio
# 绘制散点图
plt.ion()
np.set_printoptions(formatter={'float': '{: 0.6f}'.format})
print('Loading and Visualizing data ...')
data = scio.loadmat('ex5data1.mat')
X = data['X']
y = data['y'].flatten()
Xval = data['Xval']
yval = data['yval'].flatten()
Xtest = data['Xtest']
ytest = data['ytest'].flatten()

m = y.size
plt.figure()
plt.scatter(X, y, c='r', marker="*")
plt.xlabel('Change in water level (x)')
plt.ylabel('Water folowing out of the dam (y)')

损失函数正则化
损失函数正则化公式如下所示，参数 $\lambda$ 的大小控制着正则化的程度(有助于预防过拟合)。

根据之前学习，损失函数正则化的梯度如下公式所示：

$\theta$ 向量初始化为 $[1:1]$ ，线性回归模型正则化代码如下所示：

def linear_reg_cost_function(theta, x, y, lmd):
    # Initialize some useful values
    m = y.size

    # You need to return the following variables correctly
    cost = 0
    grad = np.zeros(theta.shape)
    hypo = np.dot(x,theta)
    cost = 1/(2*m)*np.sum(np.subtract(hypo,y)**2) + lmd/(2*m)*np.sum(theta[1:]**2)
    reg = theta*(lmd/m)
    reg[0] = 0
    grad = np.dot(x.T,(np.subtract(hypo,y))**2) + reg

    return cost, grad
theta = np.ones(2)
cost, _ = linear_reg_cost_function(theta, np.c_[np.ones(m), X], y, 1)

print('Cost at theta = [1  1]: {:0.6f}\n(this value should be about 303.993192'.format(cost))

根据以上代码，最后计算出的结果如下图所示：

线性回归模型的拟合
将参数 $\lambda$ 的初始值设置为0，以上参数向量 $\theta$ 是二维向量，对于这样低纬度的参数向量，正则化通常不会有明显的效果，绘制线性回归模型的直线来拟合散点图的数据，可以看到，由于我们的模型并不是一个线性模型，所以拟合效果通常并不是特别好。
使用高级优化算法，利用之前计算梯度和损失的代码，线性回归的训练函数如下所示：

def train_linear_reg(x, y, lmd):
    initial_theta = np.ones(x.shape[1])

    def cost_func(t):
        return linear_reg_cost_function(t, x, y, lmd)[0]

    def grad_func(t):
        return linear_reg_cost_function(t, x, y, lmd)[1]

    theta, *unused = opt.fmin_cg(cost_func, initial_theta, grad_func, maxiter=200, disp=False,full_output=True)

    return theta

#绘制线性回归直线
lmd = 0
theta = train_linear_reg(np.c_[np.ones(m), X], y, lmd)
plt.scatter(X, y, c='r', marker="x")
# Plot fit over the data
plt.plot(X, np.dot(np.c_[np.ones(m), X], theta))

运行以上代码，最后得到图像结果如下所示，可以清楚地看到，散点图与直线拟合效果并不理想。

方差和偏差

机器学习中非常重要的概念是偏差和方差问题，高偏差会导致欠拟合，而高方差会导致过拟合，我们将会在学习曲线上绘制训练误差和测试误差用来诊断偏差和方差问题。

学习曲线
学习曲线对于改进算法是非常有用的，学习曲线反映了训练集和验证集随着训练集样本大小变化之间的关系，训练误差的公式如下所示，可以看到，公式没有正则化的部分，为了方便计算，可以直接使用以上损失函数的代码，只需将 $\lambda$ 参数设置为0即可。

注意：当计算训练误差时，选择的数据并不是整个训练集，而是其中一个子集，可以用 $x[1:n]$ 和 $y[1:n]$ 表示

具体代码如下所示：

def learning_curve(X, y, Xval, yval, lmd):
    # Number of training examples
    m = X.shape[0]

    error_train = np.zeros(m)
    error_val = np.zeros(m)
    for i in range(m):
        x_i = X[:i+1]
        y_i = y[:i+1]
        theta = train_linear_reg(x_i, y_i, lmd)

        error_train[i] = linear_reg_cost_function(theta, x_i, y_i, 0)[0]
        error_val[i] = linear_reg_cost_function(theta, Xval, yval, 0)[0]

    return error_train, error_val

lmd = 0
error_train, error_val = learning_curve(np.c_[np.ones(m), X], y, np.c_[np.ones(Xval.shape[0]), Xval], yval, lmd)

plt.figure()
plt.plot(np.arange(m), error_train, np.arange(m), error_val)
plt.title('Learning Curve for Linear Regression')
plt.legend(['Train', 'Cross Validation'])
plt.xlabel('Number of Training Examples')
plt.ylabel('Error')
plt.axis([0, 13, 0, 150])

运行以上代码，结果如下所示：

多项式回归

通过以上代码实践，发现采用线性回归的假设函数回导致欠拟合(高偏差)问题，通过散点图，发现数据集并不是一种线性关系，采用多项式回归可以避免出现这种问题，多项式回归的假设模型如下公式所示：

模型简化
在线性回归的模型中，假设函数只有一个特征 $x$ ，在多项式回归中，如果我们认为变量 $x$ 的次数每增加一次，就认为增加一个新特征，那么，多项式回归可以简化为多变量线性回归模型。训练集中变量 $x$ 是一个 $m$ x $1$ 维的矩阵，按照以上方法处理，变量 $x$ 的第一列会是 $x^1$ ，第二列为 $x^2$ ，以此类推，最后得到变量 $x$ 是一个 $m$ X $p$ 形式的矩阵。其中 $p$ 为假设函数的最高次方。

# 生成mXp矩阵
def poly_features(X, p):
    X_poly = np.zeros((X.size, p))
    P = np.arange(1, p + 1)
    X_poly = X.reshape((X.size, 1)) ** P
 return X_poly

# 变量标准化(参考多变量线性回归)
def feature_normalize(X):
    mu = np.mean(X, 0)
    sigma = np.std(X, 0, ddof=1)
    X_norm = (X - mu) / sigma
 return X_norm, mu, sigma

# 生成多变量矩阵
p = 5 #初始化为5次方

#训练集生成和标准化
X_poly = poly_features(X, p)
X_poly, mu, sigma = feature_normalize(X_poly)
X_poly = np.c_[np.ones(m), X_poly]

# 测试集生成和标准化
X_poly_test = poly_features(Xtest, p)
X_poly_test -= mu
X_poly_test /= sigma
X_poly_test = np.c_[np.ones(X_poly_test.shape[0]), X_poly_test]

# 验证集生成和标准化
X_poly_val = poly_features(Xval, p)
X_poly_val -= mu
X_poly_val /= sigma
X_poly_val = np.c_[np.ones(X_poly_val.shape[0]), X_poly_val]

print('Normalized Training Example 1 : \n{}'.format(X_poly))

通过以上代码，最后运行结果如下所示：

多项式回归模型训练
通过以上代码，我们已经实现了将多项式回归模型简化为多变量线性回归模型，通过这种方法，可以解决高偏差问题，而对于可能存在的高方差问题，我们可以通过正则化的方式解决，但是，选择不同的 $\lambda$ 值会产生不同的效果，因此，通过以下代码，我们要寻找到合适的 $\lambda$ 值。
如下代码所示，将 $\lambda$ 初始化为0，按照0.01,0.02，0.04……的增速增长。比较训练集与交叉验证集的误差。

def plot_fit(min_x, max_x, mu, sigma, theta, p):
    x = np.arange(min_x - 15, max_x + 25, 0.05)

    X_poly = poly_features(x, p)
    X_poly -= mu
    X_poly /= sigma

    X_poly = np.c_[np.ones(x.size), X_poly]

    plt.plot(x, np.dot(X_poly, theta))


lmd = 0
theta = train_linear_reg(X_poly, y, lmd)

# Plot trainint data and fit
plt.figure()
plt.scatter(X, y, c='r', marker="x")
plot_fit(np.min(X), np.max(X), mu, sigma, theta, p)
plt.xlabel('Change in water level (x)')
plt.ylabel('Water folowing out of the dam (y)')
plt.ylim([0, 60])
plt.title('Polynomial Regression Fit (lambda = {})'.format(lmd))

error_train, error_val = learning_curve(X_poly, y, X_poly_val, yval, lmd)
plt.figure()
plt.plot(np.arange(m), error_train, np.arange(m), error_val)
plt.title('Polynomial Regression Learning Curve (lambda = {})'.format(lmd))
plt.legend(['Train', 'Cross Validation'])
plt.xlabel('Number of Training Examples')
plt.ylabel('Error')
plt.axis([0, 13, 0, 150])

print('Polynomial Regression (lambda = {})'.format(lmd))
print('# Training Examples\tTrain Error\t\tCross Validation Error')
for i in range(m):
    print('  \t{}\t\t{}\t{}'.format(i, error_train[i], error_val[i]))

$\lambda$ 初始值设置为0，运行以上代码可以看到如下结果：

可以看出多项式回归出现过拟合问题，而交叉验证误差与训练误差验证误差差值较大。通过不断增加

通过交叉验证集选择正则化参数 $\lambda$
以上，通过训练集误差和交叉验证集之间的误差，我们得到了较为合适的 $\lambda$ 参数。实际上，可以使用交叉验证集评估最为合适的 $\lambda$ 参数，这就意味着，可以通过交叉验证集实现正则化参数 $\lambda$ 的自动化选择，具体代码如下所示：

def validation_curve(X, y, Xval, yval):  
    lambda_vec = np.array([0., 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, 3, 10])   
    error_train = np.zeros(lambda_vec.size)
    error_val = np.zeros(lambda_vec.size)

    for i in range(lambda_vec.size):
        lmd = lambda_vec[i]
        theta = train_linear_reg(X, y, lmd)

        error_train[i] = linear_reg_cost_function(theta, X, y, 0)[0]
        error_val[i] = linear_reg_cost_function(theta, Xval, yval, 0)[0]
    return lambda_vec, error_train, error_val


lambda_vec, error_train, error_val = vc.validation_curve(X_poly, y, X_poly_val, yval)

plt.figure()
plt.plot(lambda_vec, error_train, lambda_vec, error_val)
plt.legend(['Train', 'Cross Validation'])
plt.xlabel('lambda')
plt.ylabel('Error')

运行以上代码，结果如下所示，可以看出，训练集误差与验证集误差的交点处即是合适的 $\lambda$ 值。

多项式回归，方差和偏差

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